Quadratische Funktionen

Funktionen Klasse 10

Warum ist der Bremsweg bei doppelter Geschwindigkeit viermal so lang?
Was verrät die Scheitelpunktform, was die Normalform nicht verrät?
Wann hat eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen?

Themen in diesem Bereich

Die Normalparabel Verschiebungen und Scheitelpunktform Quadratische Gleichungen lösen Quadratische Ergänzung und p-q-Formel Anwendungen: Bremsweg und Wurfbahn

Zum Ausprobieren: Quadratische Kurven

Verändern Sie a, b und c und beobachten Sie Scheitelpunkt und Öffnung der Parabel.

Simulation wird geladen…

Rund 3 MB – im Mobilfunknetz kann das einen Moment dauern.

Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)

Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist ein Polynom zweiten Grades, also eine Funktion der Form:

$\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol=\boldsymbol a\boldsymbol x^\mathbf2\boldsymbol+\boldsymbol b\boldsymbol x\boldsymbol+\boldsymbol c$ mit $\;\;a\neq0\\$

Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel.

Nullstellen

Quadratische Funktionen sind Polynome zweiten Grades und haben deswegen höchstens zwei reelle Nullstellen.

Die Anzahl der Nullstellen wird durch die Diskriminante $D=b^2-4\mathrm{ac}$ der Funktion angegeben:

Um die Lage der Nullstellen zu bestimmen, muss man eine quadratische Gleichung lösen, z.B. mithilfe der Mitternachtsformel, bei der die Funktion gleich $0$ gesetzt werden muss.

Scheitel

Als Scheitel einer Parabel bezeichnet man ihr Extremum. Es liegt immer bei $x=-\frac b{2a}$.

Man erhält den Scheitelpunkt einer Parabel entweder durch quadratische Ergänzung oder wie bei allen Funktionen durch die erste Ableitung.

Setzt man den x-Wert wieder in die Gleichung der quadratischen Funktion ein, erhält man den Scheitelpunkt, dieser hat dann die Koordinaten:

$$S = \bigg( -\frac{b}{2\cdot a}\bigg|\; c-\frac{b^2}{4\cdot a}\bigg)\\$$

Darstellungsformen einer quadratischen Funktion

Der Funktionsterm einer quadratischen Funktion kann - ggf. nach Umformung bzw. Zusammenfassung - vorliegen in:

allgemeine Form:

$$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$$

Scheitelform:

$$f(x)=a(x-d)^2+e$$

Nullstellenform / Linearfaktorform: (nur möglich, falls f Nullstellen hat)

$$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$$

Bedeutung der Koeffizienten einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion hat in allgemeiner Form eine Gleichung der Form $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ .

Die Koeffizienten $a, b$ und $c$ verformen und / oder verschieben die Parabel. Welchen genauen Einfluss sie auf die Form des Graphen haben, kann aber nur anhand der Scheitelform gesehen werden.

Vergleiche dazu den Artikel Einfluss der Parameter in der Scheitelform.

Video zur Scheitelform

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Quadratische Funktionen und Gleichungen

Die einfachste quadratische Funktion ist $y = x^2$; ihr Graph heißt Normalparabel. Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat ihren tiefsten Punkt im Ursprung.
Die Scheitelpunktform $y = a(x-d)^2+e$ liest sich unmittelbar: Der Scheitel liegt bei $S(d|e)$; $a>0$ öffnet nach oben, $a<0$ nach unten, $|a|>1$ macht die Parabel schmaler.
Die Normalform $y = x^2+px+q$ zeigt dagegen sofort den Schnittpunkt mit der y-Achse. Zwischen beiden Formen wechselt man mit der quadratischen Ergänzung.
Quadratische Gleichungen $x^2+px+q = 0$ löst die p-q-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$. Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet: positiv → zwei Lösungen, null → eine, negativ → keine.
Einfache Fälle gehen ohne Formel: $x^2 = 25$ hat die Lösungen $\pm 5$, und $x^2-5x = 0$ löst man durch Ausklammern: $x(x-5) = 0$.
Anwendungen: Wurfbahnen, Brückenbögen und der Bremsweg ($s \approx \left(\frac{v}{10}\right)^2$) sind quadratisch – deshalb wächst der Bremsweg bei doppeltem Tempo auf das Vierfache.

Aufgaben

Gib den Scheitelpunkt an: (a) $y = (x-3)^2+2$ (b) $y = -2(x+1)^2-4$.
Lösung
(a) $S(3|2)$, nach oben geöffnet. (b) $S(-1|-4)$, nach unten geöffnet und schmaler.
Löse: (a) $x^2-6x+8 = 0$ (b) $x^2+4x+7 = 0$.
Lösung
(a) $x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9-8} = 3\pm 1$, also $x_1 = 4$, $x_2 = 2$. (b) unter der Wurzel steht $4-7 = -3 < 0$ – keine Lösung.
Bringe $y = x^2+6x+5$ in die Scheitelpunktform.
Lösung
$x^2+6x+9-9+5 = (x+3)^2-4$; $S(-3|-4)$.
Ein Auto fährt 60 km/h. Wie lang ist der Bremsweg nach der Faustformel? Und bei 120 km/h?
Lösung
$\left(\frac{60}{10}\right)^2 = 36\,\mathrm{m}$; bei 120 km/h $144\,\mathrm{m}$ – das Vierfache.

Weiterführende Aufgaben

Fotografiere einen Brückenbogen oder eine Wasserfontäne, lege ein Koordinatensystem darüber und bestimme eine passende Parabelgleichung.
Untersuche mit einer Geometriesoftware, wie sich der Graph ändert, wenn du $a$, $d$ und $e$ einzeln veränderst. Halte deine Beobachtungen fest.