Verschiebungen und Scheitelpunktform

Scheitelpunktform

• Die Scheitelpunktform lautet \(y = a(x-d)^2+e\). Der Scheitel liegt bei \(S(d|e)\).
• \(e\) verschiebt senkrecht: \(+3\) nach oben, \(-3\) nach unten – das ist anschaulich.
• \(d\) verschiebt waagerecht, aber scheinbar verkehrt herum: \((x-3)^2\) verschiebt nach rechts. Grund: Der Scheitel liegt dort, wo die Klammer null wird – bei \(x = 3\).
• \(a\) bestimmt Öffnung und Form: \(a>0\) nach oben, \(a<0\) nach unten; \(|a|>1\) schmaler, \(|a|<1\) weiter.
• Damit ist die Parabel vollständig beschrieben, ohne eine Wertetabelle: Scheitel eintragen, Öffnung beachten, ein paar Punkte ergänzen.
• Der Scheitel ist der höchste oder tiefste Punkt – in Sachaufgaben also das Maximum oder Minimum, etwa die größte Wurfhöhe.

1. Gib Scheitel und Öffnung an: (a) \(y = (x-2)^2+3\) (b) \(y = -3(x+1)^2-2\).
   Lösung

   (a) \(S(2|3)\), nach oben. (b) \(S(-1|-2)\), nach unten, schmaler.
2. Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel mit Scheitel \(S(4|5)\)?
   Lösung

   \(y = -(x-4)^2+5\).
3. Ein Ball fliegt nach \(h(t) = -5(t-2)^2+20\). Wann und wie hoch ist der höchste Punkt?
   Lösung

   Nach 2 Sekunden, 20 Meter hoch.

1. Untersuche mit einer Geometriesoftware, wie sich der Graph ändert, wenn du \(a\), \(d\) und \(e\) einzeln verschiebst. Halte drei Beobachtungen fest.