Quadratische Ergänzung und p-q-Formel
- Wie kommt man von der Normalform zur Scheitelpunktform?
- Woher stammt die p-q-Formel?
Zum Ausprobieren: Quadratische Kurven
Verändern Sie a, b und c und beobachten Sie Scheitelpunkt und Öffnung der Parabel.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Quadratische Ergänzung
Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen.
Man geht aus von der Form \(ax^2+bx+c\) und landet am Ende der Umformung bei der Scheitelform \( a( x- d)^2+ e\).
\(ax^2+bx+c\;\;\Rightarrow\;a\left(x-d\right)^2+e\)
Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden oder ihre Nullstellen zu bestimmen. Sie kann auch benutzt werden, um quadratische Gleichungen zu lösen.
Vorgehensweise am Beispiel
Quadratische Ergänzung des Terms \({12x+17+2x^2}\)
Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet
Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.
Damit die Funktionsterme korrekt angezeigt werden, bitte nur Zahlen mit höchstens 3 Ziffern angeben, sonst gibt es Überlappungen.
Wozu dient die quadratische Ergänzung?
Scheitelpunkt bestimmen
Mithilfe der Scheitelform kann man direkt den Scheitelpunkt berechnen.
Ist die Scheitelform \(a\left(x-d\right)^2+e\), so liegt der Scheitelpunkt bei \(\left(d\vert e\right)\).
Lösungen einer quadratischen Gleichung
Eine normale quadratische Gleichung der Form \(\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+c=0\) kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable x sowohl im Quadrat, als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur noch einmal in der binomischen Formel.
Das ermöglicht ein Lösungsverfahren mit Wurzelziehen.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Quadratische Ergänzung
- Die quadratische Ergänzung macht aus \(x^2+px\) ein vollständiges Quadrat. Dazu addiert und subtrahiert man \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\).
- Beispiel: \(x^2+6x+5 = x^2+6x+9-9+5 = (x+3)^2-4\). Damit steht die Scheitelpunktform da: \(S(-3|-4)\).
- Die Zahl, die man ergänzt, ist immer das Quadrat der halben Vorzahl von \(x\) – das ist der ganze Trick.
- Genau daraus entsteht auch die p-q-Formel: Wer \(x^2+px+q = 0\) quadratisch ergänzt und nach \(x\) auflöst, erhält \(x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\). Die Formel ist also kein Zauber, sondern eine abgekürzte Rechnung.
- Nützlich ist die Ergänzung vor allem, wenn der Scheitel gesucht ist – etwa bei Extremwertaufgaben ohne Ableitung.
- Vorsicht bei einem Faktor vor \(x^2\): erst ausklammern, dann ergänzen.
Aufgaben
- Bringe in die Scheitelpunktform: (a) \(y = x^2+8x+10\) (b) \(y = x^2-4x+7\).
Lösung
(a) \((x+4)^2-6\), \(S(-4|-6)\). (b) \((x-2)^2+3\), \(S(2|3)\). - Löse durch quadratische Ergänzung: \(x^2+10x+21 = 0\).
Lösung
\((x+5)^2 = 4\) → \(x+5 = \pm 2\) → \(x = -3\) oder \(x = -7\). - Welche Zahl muss ergänzt werden bei \(x^2-12x\)?
Lösung
\(36\), denn \((-6)^2 = 36\).
Weiterführende Aufgaben
- Leite die p-q-Formel selbst her, indem du \(x^2+px+q = 0\) quadratisch ergänzt. Notiere jeden Schritt.