Ableitungen

Die Ableitung

• Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen ist der Differenzenquotient \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) – die Steigung der Sekante. Sie beantwortet Fragen wie „Wie schnell im Durchschnitt?“.
• Lässt man \(b\) gegen \(a\) laufen, entsteht die momentane Änderungsrate: die Ableitung \(f'(a)\), also die Steigung der Tangente an dieser Stelle.
• Ableitungsregeln: Potenzregel \((x^n)' = n\cdot x^{n-1}\), Faktorregel, Summenregel; dazu Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.
• Kurvenuntersuchung: Nullstellen aus \(f(x)=0\); Extremstellen dort, wo \(f'(x)=0\) ist und das Vorzeichen wechselt; Wendestellen bei \(f''(x)=0\) mit Vorzeichenwechsel.
• An einem Hoch- oder Tiefpunkt verläuft die Tangente waagerecht – deshalb ist dort \(f'(x) = 0\). Umgekehrt gilt das nicht: bei \(f(x)=x^3\) ist \(f'(0)=0\), aber es liegt kein Extremum vor.
• Extremwertaufgaben übersetzen eine Sachfrage in eine Funktion mit einer Variablen: Zielgröße aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, null setzen, Randwerte prüfen.

1. Leite ab: (a) \(f(x)=3x^4-5x^2+7\) (b) \(f(x)=\frac{1}{x}\) (c) \(f(x)=(2x+1)^3\).
   Lösung

   (a) \(12x^3-10x\) · (b) \(-\frac{1}{x^2}\) · (c) \(6(2x+1)^2\).
2. Bestimme die Extremstellen von \(f(x)=x^3-3x\).
   Lösung

   \(f'(x)=3x^2-3=0\) → \(x=\pm 1\). \(f''(x)=6x\): \(f''(1)>0\) → Tiefpunkt, \(f''(-1)<0\) → Hochpunkt.
3. Aus einem Draht von 40 cm soll ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt entstehen. Welche Maße?
   Lösung

   \(A(x)=x(20-x)=20x-x^2\); \(A'(x)=20-2x=0\) → \(x=10\). Das Quadrat mit 10 cm Seitenlänge, \(A=100\,\mathrm{cm^2}\).

1. Zeichne zu einer Funktion den Graphen von \(f\) und \(f'\) untereinander. Beschreibe, woran man im unteren Bild die Hoch- und Tiefpunkte des oberen erkennt.
2. Suche eine Größe aus Physik oder Wirtschaft, deren Ableitung einen eigenen Namen hat (Geschwindigkeit, Grenzkosten), und erkläre den Zusammenhang.