Scheitelpunkt einer Parabel
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt (Extrempunkt) einer Parabel.
Eigenschaften des Scheitelpunkts
- Der Scheitelpunkt ist das Maximum der Funktion, wenn die Parabel nach unten geöffnet ist und Minimum der Funktion, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.
- Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Parallelen zur y-Achse durch den Scheitelpunkt.
Bestimmung des Scheitelpunkts
Es gibt vier unterschiedliche Methoden zur Bestimmung des Scheitelpunktes:
- anhand der Scheitelform
- anhand der allgemeinen Form
- mithilfe der Ableitung (fortgeschritten)
- anhand der Nullstellen (nicht immer anwendbar)
1. Bestimmung anhand der Scheitelform
Wenn sich die Funktion schon in Scheitelform (Scheitelpunktform) befindet, kann der Punkt einfach abgelesen werden:
- Scheitelpunktform: \(f(x)=a(x-d)^2+e\)
- Scheitelpunkt: \(S(d\vert e)\)
Umwandlung in Scheitelform
Falls die Gleichung noch nicht in Scheitelform ist, kann man sie mit der quadratischen Ergänzung oder anderen Umformungen (Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formel) in Scheitelform bringen und dann, wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt ablesen.
2. Bestimmung anhand der allgemeinen Form
Mithilfe der folgenden Formel kann man den Scheitelpunkt auch direkt aus der allgemeinen Form berechnen.
Allgemeine Form: \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Umwandeln in die allgemeine Form
Falls die Gleichung noch nicht in der allgemeinen Form ist, kann man sie durch Umformungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formel in die allgemeine Form bringen und dann, wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt durch die Formel berechnen.
3. Bestimmung mit der Ableitung (fortgeschritten)
Die Steigung der Parabel ist am Scheitelpunkt gleich \(0\). Deshalb kann der Scheitel einer Parabel auch mit der Ableitung berechnet werden, da der Scheitel stets das Extremum der quadratischen Funktion ist.
4. Bestimmung anhand der Nullstellen
Vorsicht! Diese Methode funktioniert nur, falls die Parabel Nullstellen hat.
- Wenn die Parabel zwei Nullstellen hat, so liegt der Scheitel genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen, da alle Parabeln achsensymmetrisch sind.
- Wenn die Parabel nur eine Nullstelle hat, dann ist diese der x-Wert \(x_s\) des Scheitels.
- Wenn die Parabel keine Nullstellen hat, funktioniert diese Methode NICHT!