Nullstellenform

Die Nullstellenform ist eine von vier verschiedenen Möglichkeiten zur Darstellung einer quadratischen Funktion. Diese Möglichkeiten sind:

• Die allgemeine Form: \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\)
• Die Normalform \(f(x)= x^2+p\cdot x+q\)

• Die Scheitelpunktsform: \(f(x)=a\cdot (x-d)^2 +e\)

• Die Nullstellenform: \(f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot (x-x_2)\)

Der Öffnungsfaktor \(a\) ist dabei bei jeder der Darstellungsmöglichkeiten einer Funktion \(f(x)\) gleich.

Aufbau der Nullstellenform

Wie der Name Nullstellenform schon sagt, sind die Nullstellen dafür sehr wichtig.

Oben kannst du bereits erkennen, dass auch der Öffnungsfaktor \(a\) der quadratischen Funktion für die Nullstellenform eine wichtige Rolle spielt.

Ausgehend von diesen Werten kannst du drei Fälle unterscheiden:

1. Fall: Zwei verschiedene Nullstellen

Die Nullstellenform lautet:

\(f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)\)

Zum Funktionsgraph im Beispiel:

In der Graphik siehst du, dass \(f\) Nullstellen bei \(-2\) und \(0\) hat.

Wie du den Öffnungsfaktor bestimmst, erfährst du weiter unten im Artikel. Hier ist der Öffnungsfaktor \(a=1\).

Deswegen ist der Funktionsterm von \(f\) in Nullstellenform:

\(f(x)=1\cdot(x-(-2))\cdot(x-0)=(x+2)\cdot x\).

2. Fall: Eine Nullstelle mit zweifacher Vielfachheit

\(x_1\) ist eine doppelte Nullstelle, und deshalb ist \(x_1=x_2\). Du kannst also \(x_1\) für \(x_2\) einsetzen und :

\(f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x- x_1)\\\phantom{f(x)}=a\cdot (x-x_1)^2\)

Zum Funktionsgraph im Beispiel:

In der Graphik siehst du, dass \(f\) eine doppelte Nullstelle bei \(2\) hat.

Wie du den Öffnungsfaktor bestimmst, erfährst du weiter unten im Artikel. Hier ist der Öffnungsfaktor \(a=1\).

Deswegen ist der Funktionsterm von \(f\) in Nullstellenform:

\(f(x)=1\cdot(x-2)\cdot(x-2)=(x-2)^2\).

3. Fall: Keine Nullstelle

Es gibt keine Nullstellenform.

Video zu den Nullstellen quadratischer Funktionen

Veranschaulichung

Die folgende Grafik stellt dar, wie sich die Nullstellenform einer Funktion \(f\) in Abhängigkeit vom Funktionsgraphen und ihrer Scheitelpunktsform verändert.

Scheitelpunktsform

Zur Erinnerung: Die allgemeine Form der Scheitelpunktsform ist

\(f(x)=a\cdot(x-d)^2+e\)

Die Scheitelpunktsform der Funktion \(f\) ist abhängig von den Parametern \(a\), \(d\) und \(e\). Du siehst die Scheitelpunktsform in der linken oberen Ecke der Grafik.

Graph

Der abgebildete Graph der Funktion \(f\) verändert sich in Abhängigkeit von den einzelnen Parametern der Scheitelpunktsform.

Nullstellenform

Die Nullstellenform ist abgebildet in der linken unteren Ecke der Grafik. Du siehst, wie sich die Nullstellenform ändert, wenn sich die einzelnen Parameter verändern.

Bestimmung der Nullstellenform

Zu einer gegebenen Funktionsgleichung in einer anderen Darstellungsform oder einem Graphen soll die Nullstellenform bestimmt werden.

Das schematische Vorgehen ist folgendermaßen:

• Bestimme die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) und deren Vielfachheit

• Bestimme den Öffnungsfaktor \(a\)

• Setze in den passenden der oben genannten drei Fälle ein

Das erste Beispiel behandelt, wie du eine Funktionsgleichung von Scheitelpunktsform in Nullstellenform umrechnest. Das zweite Beispiel zeigt, wie du aus einem gegebenen Funktionsgraphen die zugehörige Nullstellenform bestimmst.

Beispiel 1: Bestimmung aus Scheitelpunktsform

Beispiel 2: Bestimmung aus Funktionsgraph

Weitere Beispiele

Informationen aus der Nullstellenform

Aus einer gegebenen Nullstellenform kannst du auch Informationen herauslesen. Diese sind die Nullstellen \(x_1\), \(x_2\) und der Öffnungsfaktor \(a\).

Das nächste Beispiel zeigt, wie du diese Informationen gewinnen kannst.

Vertiefung: Linearfaktordarstellung