Exponentialfunktionen

Eine Funktion mit dem Funktionsterm \(f(x)=b\cdot a^x\) heißt Exponentialfunktion. Dabei ist \(a>0,\;a\neq1\) und \(b\neq0\).

Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm \(a^x\) die Basis \(a\) eine fest gewählte positive reelle Zahl (ungleich \(1\)). Der Exponent enthält die Funktionsvariable \(x\). Daher die Bezeichnung "Exponentialfunktion". Der Faktor \(b\) ist eine beliebige von null verschiedene reelle Zahl.

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zu diesem Thema findest du in dem Videokurs zu Exponentialfunktionen.

Beispiele für Exponentialfunktionen

• \(f(x)=2^x\). Hier ist \(b = 1\) und \(a = 2\).
• \(f(x)=-1,5\cdot0,8^x\). Hier ist \(b = -1,5\) und \(a = 0,8\).

Beispiele, die keine Exponentialfunktionen sind

• \(f(x)=x^2\). Hier ist \(f\) eine Potenzfunktion (sogar eine Parabel).
• \(f(x)=x^{0,8}\). Hier ist \(f\) eine Wurzelfunktion. Es gilt \(x^{0,8}=\sqrt[5]{x^4}\).
• \(f(x)=(-2)^x\). Hier ist \(f\) z.B. für \(x=0,5\) nicht definiert und es handelt sich um keine Exponentialfunktion, weil \(a=-2<0\) ist.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

• Der maximale Definitionsbereich ist ganz \(\mathbb{R}\).
• Der maximale Wertebereich ist \(\mathbb{R}^+\)falls \(b>0\) und \(\mathbb{R}^-\) falls \(b < 0\).
• Der Graph schneidet die y-Achse bei dem Wert \(b\).
• Der Graph hat die \(x\)-Achse als Asymptote und hat keine Nullstelle.

Diese Eigenschaften erkennt man gut an den Graphen der Funktionen. Für \(b>0\):

Im Fall von \(b<0\) werden die Graphen an der \(x\)-Achse gespiegelt.

Veranschaulichung der Eigenschaften im GeoGebra-Applet

Benutze die Schieberegler \(a\) und \(b\) des nachfolgenden Geogebra-Applets, um mit dem Verlauf unterschiedlicher Exponentialfunktionen vertraut zu werden.

Überzeuge dich insbesondere davon, dass keine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=b\cdot a^x\) eine Nullstelle hat und dass jede den \(y\)-Achsenabschnitt \((0|b)\) besitzt.

Exponentialfunktionen beschreiben zeitliche, exponentielle Wachstumsvorgänge und sind deshalb von erheblicher Bedeutung.

Die übliche Schreibweise der dabei betrachteten Funktionen ist \(N(t)=N_0\cdot a^t\). \(N_0\) entspricht dem Faktor \(b\) und misst den Anfangswert der Veränderung. Der Wachstumsfaktor heißt \(a\).

Ist \(a<1\), dann handelt es sich bei positivem \(N_0\) um ein abnehmendes Wachstum.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion. Für \(f(x)=a^x\) ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

$$f^{-1}(x)=\log_ax.$$

Natürliche Exponentialfunktion

Man kann jede Exponentialfunktion auf eine natürliche Exponentialfunktion, d.h. auf eine Exponentialfunktion mit Basis \(e\), der Eulerschen Zahl, zurückführen:

$$f(x)=a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\ln(a)}.$$

Diese Beziehung hilft unter anderem dabei, die Ableitung zu bestimmen.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von \(f(x)=a^x\) ist gegeben durch:

$$f'(x)=\ln(a)\cdot a^x$$

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion \(F(x)\) einer Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\) ist: