Grenzwerte & Stetigkeit

Funktionen Klasse 10

Was heißt es, dass sich eine Funktion einem Wert „nähert“, ohne ihn zu erreichen?
Woran erkennt man, dass ein Graph an einer Stelle einen Sprung hat?
Warum braucht die Ableitung überhaupt einen Grenzwert?

Themen in diesem Bereich

Folgen und ihr Grenzwert Grenzwert einer Funktion Verhalten im Unendlichen Stetigkeit und Sprungstellen

Grenzwertbetrachtung

Die Grenzwertbetrachtung dient dazu, das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen entweder im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist einer Definitionslücke) zu ermitteln.

Das funktioniert, indem man x immer näher an die gewünschten Werte annähert und dabei überprüft, wie sich die zugehörigen y-Werte der Funktion verhalten.

Verhalten im Unendlichen

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)$ prüft das Verhalten einer Funktion (des y-Wertes), wenn sich x an $-\infty$ und $+\infty$ annähert.

Diese Darstellung beinhaltet folglich zwei Untersuchungen, die getrennt voneinander durchgeführt werden.

Bestimmung der Grenzwerte durch Ausprobieren

Man ersetzt x durch einen sehr hohen positiven und einen sehr hohen negativen Wert und betrachte, wie sich der y-Wert der Funktion dabei verhält.

Beispiel:

Gesucht ist der Grenzwert $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ mit $f(x)=\frac{x^2}{x^3-1}$.

Setze große Zahlen für $x$ ein und stelle eine Vermutung über den Grenzwert auf.

Vermutung: $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x) =0$

Berechnung des Grenzwerts

Um den Grenzwert sicher korrekt zu erhalten, ist es jedoch erforderlich, den Funktionsterm mit entsprechenden, von der Art des betreffenden Terms abhängigen Methoden genauer zu untersuchen, und den Grenzwert durch Berechnen zu bestimmen.

Durch die Berechnung des Grenzwerts im Unendlichen erhält man den Wert der waagerechten Asymptote, falls vorhanden.

Verhalten an der Definitionslücke

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ prüft das Verhalten einer Funktion (des y-Wertes), wenn sich $x$ der Definitionslücke $x_0$ annähert.

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert

Man kann allerdings nicht automatisch davon ausgehen, dass sich der Funktionsgraph von links und von rechts betrachtet gleich verhält.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ beinhaltet also zwei Untersuchungen, die getrennt voneinander durchgeführt werden.

Das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke muss von beiden Seiten betrachtet werden.

Ist $x_0$ zum Beispiel $2$, betrachtet man das Verhalten der Funktion bei 1,9999… und bei 2,000…1, da man sich einmal von links und einmal von rechts an den Punkt 2 annähert.

Beispiel

Verhalten an der Definitionslücke $x=0$ der Funktion $f(x)=\frac1x$ :

Das berechnet man so:

Rechtsseitiger Grenzwert:

$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\frac1x=\infty,$$

da man hier von einem Wert knapp über null ausgeht.

Linksseitiger Grenzwert:

$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\frac1x=-\infty,$$

da man hier von einem Wert knapp unter null ausgeht.

Durch diese Berechnung erhält man entweder den Wert:

einer hebbaren Definitionslücke
oder einer senkrechte Asymptote durch eine Polstelle
oder bei einer Funktion mit Sprung die Werte an der Unstetigkeitsstelle.

In diesem Beispiel verläuft durch die Polstelle $P(0|0)$ eine senkrechte Asymptote.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Grenzwerte und Stetigkeit

Ein Grenzwert beschreibt eine Annäherung. $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5$ heißt: Je näher $x$ an 2 herankommt, desto näher liegt $f(x)$ an 5. Ob $f(2)$ selbst existiert, ist dafür ohne Bedeutung.
Genau das ist der Trick der Analysis. Bei $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ ist $x = 2$ verboten (Division durch null), aber der Grenzwert existiert: Kürzen ergibt $x+2$, also $\lim\limits_{x\to 2} f(x) = 4$.
Stetigkeit bedeutet anschaulich: Der Graph lässt sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen. Formal müssen an jeder Stelle drei Dinge zusammenfallen – der Funktionswert existiert, der Grenzwert existiert, und beide sind gleich.
Unstetig ist eine Funktion, wo eines davon fehlt: eine Definitionslücke, ein Sprung (linker und rechter Grenzwert verschieden) oder eine Polstelle (die Werte wachsen über alle Grenzen).
Warum das für die Ableitung nötig ist: Die Steigung in einem Punkt ist der Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn die beiden Punkte zusammenrücken. Ohne Grenzwert bliebe im Nenner eine Null stehen.

Aufgaben

Berechne $\lim\limits_{x\to 3}(2x+1)$.
Lösung
7 – bei stetigen Funktionen darf man einsetzen.
Berechne $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$.
Lösung
Kürzen zu $x+2$, also 4.
Nenne die drei Bedingungen für Stetigkeit an einer Stelle.
Lösung
Funktionswert existiert, Grenzwert existiert, beide stimmen überein.

Weiterführende Aufgaben

Zeichnet zu jedem Unstetigkeitstyp (Lücke, Sprung, Pol) einen Graphen und beschreibt, welche der drei Bedingungen jeweils verletzt ist.