Anwendungen: Bremsweg und Wurfbahn

Quadratische Zusammenhänge im Alltag

• Bremsweg: Die Faustformel lautet \(s = \left(\frac{v}{10}\right)^2\) (in Metern, \(v\) in km/h). Weil das Tempo quadriert wird, wächst der Weg viermal so schnell wie die Geschwindigkeit.
• Dazu kommt der Reaktionsweg \(\frac{v}{10}\cdot 3\) – er wächst nur linear. Zusammen ergibt das den Anhalteweg.
• Wurfbahn: Ein geworfener Ball folgt einer Parabel, weil die Höhe quadratisch von der Zeit abhängt: \(h(t) = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0\).
• Der Scheitel ist der höchste Punkt, die Nullstelle der Auftreffpunkt – beides Fragen, die man mit den Werkzeugen dieses Kapitels beantwortet.
• Weitere quadratische Zusammenhänge: Flächeninhalt bei fester Umzäunung, Brückenbögen, Kosten- und Gewinnfunktionen.
• Merksatz für den Straßenverkehr: doppeltes Tempo, vierfacher Bremsweg – das ist kein Gefühl, sondern Rechnung.

1. Berechne Brems- und Reaktionsweg bei 50 km/h und bei 100 km/h.
   Lösung

   50: \(25\,\mathrm{m}\) Bremsweg, \(15\,\mathrm{m}\) Reaktion, zusammen 40 m. 100: \(100+30 = 130\,\mathrm{m}\).
2. Ein Ball fliegt nach \(h(t) = -5t^2+20t\). Wann landet er, und wie hoch fliegt er?
   Lösung

   \(t(20-5t) = 0\) → nach 4 s; Scheitel bei \(t = 2\), \(h = 20\,\mathrm{m}\).
3. Mit 40 m Zaun soll ein rechteckiges Gehege an einer Hauswand entstehen. Welche Maße ergeben die größte Fläche?
   Lösung

   \(A(x) = x(40-2x)\); Scheitel bei \(x = 10\): 10 m mal 20 m, \(200\,\mathrm{m^2}\).

1. Vergleiche die Faustformel für den Bremsweg mit den Angaben eines Autoherstellers. Wo liegen die Unterschiede und warum?