Integralrechnung
- Warum kann man mit einer Stammfunktion eine Fläche berechnen?
- Was bedeutet ein negatives Integral?
- Wozu braucht man Integrale außerhalb der Geometrie?
Themen in diesem Bereich
Zum Ausprobieren: Ableitung und Integral
Zeichnen Sie eine Funktion und beobachten Sie gleichzeitig Ableitung und Integral.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (also auf die Ermittlung von Stammfunktionen) zurück.
Video zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
HDI in Worten erklärt
Man kann also den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion \(f\) berechnen, indem man vom Funktionswert \(F(b)\) einer Stammfunktion von \(f\) an der oberen Integrationsgrenze den Funktionswert \(F(a)\) dieser Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze subtrahiert.
Weitere Version des HDI
Den Hauptsatz der Differentialrechnung gibt es auch noch in einer anderen, äquivalenten Darstellung. Manchmal ist auch folgende Version des HDI nützlich:
Man erkennt an dieser Version recht gut, dass es unendlich viele Stammfunktionen einer Funktion gibt, die sich jeweils durch eine Konstante unterscheiden.
So gibt \(\displaystyle \int_a^xf(s)ds + C\) eine Stammfunktion zu \(f\), denn \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_a^xf(s)ds+C\right]=f(x)\)
(wobei \(C\) eine beliebige, reelle Konstante ist).
Siehe auch hier: Mathe für Nicht-Freaks
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Integralrechnung
- Das bestimmte Integral \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) misst die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. Flächenstücke unterhalb der Achse zählen negativ.
- Die Idee dahinter: Die Fläche wird durch immer schmalere Rechtecke angenähert (Ober- und Untersumme); im Grenzfall entsteht der genaue Wert.
- Eine Stammfunktion \(F\) ist eine Funktion mit \(F' = f\). Es gibt unendlich viele, sie unterscheiden sich nur um eine Konstante \(C\).
- Der Hauptsatz verbindet beides: \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)\). Deshalb wird aus einer Flächenfrage eine Rechenaufgabe.
- Wichtige Stammfunktionen: zu \(x^n\) gehört \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\) (für \(n \ne -1\)), zu \(\mathrm{e}^x\) wieder \(\mathrm{e}^x\), zu \(\frac{1}{x}\) der natürliche Logarithmus.
- Anwendungen: zurückgelegter Weg aus einer Geschwindigkeit, Arbeit aus einer Kraft, Gesamtmenge aus einer Zuflussrate – überall dort, wo aus einer Änderungsrate der Bestand folgen soll.
Aufgaben
- Bestimme eine Stammfunktion: (a) \(f(x)=6x^2\) (b) \(f(x)=4x^3-2x\).
Lösung
(a) \(F(x)=2x^3+C\) · (b) \(F(x)=x^4-x^2+C\). - Berechne \(\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x\).
Lösung
\(F(x)=\frac{1}{3}x^3\); \(F(3)-F(0)=9-0=9\). - Ein Zufluss beträgt \(v(t)=2t\) (in \(\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{min}}\)). Wie viel Wasser fließt in den ersten 5 Minuten zu?
Lösung
\(\int_0^5 2t\,\mathrm{d}t = [t^2]_0^5 = 25\) Liter.
Weiterführende Aufgaben
- Berechne die Fläche zwischen \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x\). Skizziere zuerst – an welchen Stellen schneiden sich die Graphen?
- Nimm ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm einer Fahrradfahrt auf und schätze den zurückgelegten Weg als Fläche ab.