Lineare Funktionen

Funktionen Klasse 9, 10

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Ziehen Sie an der Geraden und beobachten Sie, wie sich die Gleichung mitverändert.

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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)

Eine lineare Funktion hat die Form $f(x)=m\cdot x+b$. Ihr Graph ist eine Gerade.

Der Graph einer linearen Funktion sieht zum Beispiel für $f(x)=2x+4$ so aus:

Die Zahl $m$ vor der Variablen $x$ gibt die Steigung der Funktion an.

Die Steigung kann man an dem Graphen anhand des Steigungsdreiecks ablesen:

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Im Beispiel ist die Steigung

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{2}=2$$

Die Zahl $b$ gibt den $y$-Achsenabschnitt der Funktion an. Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei $x=0$.

Oft wird statt dem $b$ auch ein $n$ oder ein $t$ benutzt.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Eine Funktion ordnet jedem $x$ genau ein $y$ zu. Bei der linearen Funktion geschieht das nach der Vorschrift $y = m\cdot x + b$; ihr Graph ist immer eine Gerade.
$m$ ist die Steigung: Um wie viel ändert sich $y$, wenn $x$ um 1 wächst? Sie lässt sich aus zwei Punkten berechnen: $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Ist $m>0$, steigt die Gerade; ist $m<0$, fällt sie.
$b$ ist der y-Achsenabschnitt: der Wert bei $x = 0$, also der Startwert. Bei einem Handytarif ist $b$ die Grundgebühr und $m$ der Preis je Minute.
Zeichnen: Punkt $(0|b)$ eintragen, von dort mit dem Steigungsdreieck weitergehen (1 nach rechts, $m$ nach oben).
Gleichung aufstellen: aus zwei Punkten erst $m$ berechnen, dann einen Punkt einsetzen und nach $b$ auflösen.
Ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen fragt nach dem Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Lösungswege: Gleichsetzen, Einsetzen, Addieren. Grafisch ist es der Schnittpunkt – parallele Geraden haben keinen, identische unendlich viele.

Gib Steigung und y-Achsenabschnitt an und zeichne: (a) $y = 2x-3$ (b) $y = -\frac{1}{2}x+4$.
Lösung
(a) $m = 2$, $b = -3$ (steigend). (b) $m = -0{,}5$, $b = 4$ (fallend).
Eine Gerade geht durch $A(1|3)$ und $B(5|11)$. Wie lautet ihre Gleichung?
Lösung
$m = \frac{11-3}{5-1} = 2$; einsetzen: $3 = 2\cdot 1 + b$, also $b = 1$. Gleichung: $y = 2x+1$.
Tarif A: 10 € Grundgebühr, 0,05 €/min. Tarif B: 0,15 €/min. Ab wie vielen Minuten ist A günstiger?
Lösung
$10+0{,}05x = 0{,}15x$ → $x = 100$ Minuten. Ab 100 Minuten lohnt A.
Löse das System: $y = 3x-2$ und $y = -x+6$.
Lösung
$3x-2 = -x+6$ → $4x = 8$ → $x = 2$, $y = 4$. Schnittpunkt $(2|4)$.

Miss an einem Wasserhahn, wie viel Wasser pro Sekunde fließt, und stelle daraus eine Funktionsgleichung für die Füllmenge auf. Prüfe sie durch eine Messung.
Vergleiche drei echte Stromtarife grafisch. Bei welchem Verbrauch ist welcher der günstigste?