Kurvendiskussion
- Welche Fragen beantwortet eine Kurvendiskussion – und in welcher Reihenfolge?
- Warum genügt \(f'(x)=0\) nicht als Nachweis für einen Hochpunkt?
- Was sagt die zweite Ableitung über die Form des Graphen?
Themen in diesem Bereich
Kurvendiskussion
In der Kurvendiskussion werden ausgewählte Eigenschaften einer Funktion und ihres Graphen systematisch untersucht und analysiert.
Bestandteile der Kurvendiskussion
Eigenschaften berechnen
Diese Liste enthält alle Eigenschaften, die man bei einer Funktion überprüfen kann:
- Definitionsbereich (mit Definitionslücken)
- Grenzwerte (an den Grenzen des Definitionsbereichs)
- Asymptoten
- Nullstellen
- Symmetrieverhalten
- Monotonieverhalten (über die erste Ableitung)
- Extrempunkte
- Krümmungsverhalten (über die zweite Ableitung)
- Wendepunkte und Terrassenpunkte
- Wertebereich
- Tangenten
- Stammfunktion
- Fläche unter dem Funktionsgraphen
Systematisches Vorgehen
- Vorbereitung: Ableitungen berechnen
- f'(x) für Monotonie und Extrema
- f''(x) für Krümmung und Wendepunkte
- f'''(x) für Wendepunkt-Nachweis (falls nötig)
- Grundeigenschaften klären
- Definitionsbereich bestimmen
- Symmetrie überprüfen
- Grenzwerte berechnen
- Charakteristische Punkte finden
- Nullstellen: f(x) = 0
- Extrema: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel oder f''(x) ≠ 0
- Wendepunkte: f''(x) = 0 und Vorzeichenwechsel oder f'''(x) ≠ 0
- Verhalten analysieren
- Monotonie über f'(x)
- Krümmung über f''(x)
- Asymptoten bestimmen
Graphen skizzieren
Bei einer Kurvendiskussion kann zusätzlich gefragt werden, den Graphen in ein Koordinatensystem zu skizzieren. Die Skalierung wird so gewählt, dass die errechneten Eigenschaften sichtbar eingezeichnet werden können. Wichtige Punkte wie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte werden deutlich gekennzeichnet.
Beispiel
Beispielaufgaben
Kurvendiskussion mit Parameter
Bei Funktionstermen, die zusätzlich zu den Variablen noch Parameter enthalten, muss man bei einer Kurvendiskussion zusätzlich auf Fallunterscheidungen achten.
Details und ein Rechenbeispiel findet man im Artikel Kurvendiskussion mit Parameter.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Die Kurvendiskussion
- Sie ist die vollständige Beschreibung eines Graphen, ohne ihn zu zeichnen – und zwar aus der Funktionsgleichung allein. Am Ende soll man die Kurve skizzieren können.
- Die übliche Reihenfolge: Definitionsbereich → Symmetrie → Schnittpunkte mit den Achsen → Ableitungen bilden → Extrempunkte → Wendepunkte → Verhalten im Unendlichen → Skizze.
- Die erste Ableitung ist die Steigung. \(f'(x) = 0\) markiert eine waagerechte Tangente – aber das kann ein Hoch-, ein Tief- oder ein Sattelpunkt sein. Deshalb ist es nur eine notwendige Bedingung.
- Die zweite Ableitung entscheidet: \(f''(x_0) < 0\) → Hochpunkt (rechts gekrümmt), \(f''(x_0) > 0\) → Tiefpunkt (links gekrümmt), \(f''(x_0) = 0\) → weiter prüfen, möglicher Sattelpunkt.
- Wendepunkte sind die Stellen, an denen die Krümmung wechselt: \(f''(x) = 0\) und \(f'''(x) \ne 0\). Anschaulich der Punkt, an dem man beim Autofahren das Lenkrad durch die Mittelstellung dreht.
- Wozu das gut ist: Jede Optimierung – größtes Volumen, kleinste Kosten, höchster Ertrag – ist eine Extremwertaufgabe und damit eine halbe Kurvendiskussion.
Aufgaben
- Warum ist \(f'(x)=0\) nur notwendig, nicht hinreichend?
Lösung
Auch ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente; erst die zweite Ableitung unterscheidet die Fälle. - Was bedeutet \(f''(x_0) > 0\)?
Lösung
Linkskrümmung – an einer Stelle mit \(f'(x_0)=0\) liegt ein Tiefpunkt. - Nenne die Bedingungen für einen Wendepunkt.
Lösung
\(f''(x)=0\) und \(f'''(x)\ne 0\).
Weiterführende Aufgaben
- Führt für \(f(x) = x^3-3x\) eine vollständige Kurvendiskussion durch und vergleicht eure Skizze mit einem Funktionsplotter.