Tangente an Graph
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Eine Tangente an einem Graphen ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion \(f\) an einer bestimmten Stelle \(x_0\) berührt und dort dieselbe Steigung wie die Funktion besitzt.
Der Funktionsterm einer Tangente wird entweder durch die Tangentenformel aufgestellt oder durch das schrittweise Konstruieren einer Gerade.
Die Tangentenformel
Die Tangente \(g\) wird durch einen linearen Funktionsterm angegeben und kann mithilfe der Tangentenformel aufgestellt werden:
Konstruieren aus einer Geraden
Eine Tangente kann auch ohne Formel aufgestellt werden. Da es sich um eine lineare Funktion handelt, lautet deren allgemeine Form:
$$g\left(x\right)=mx+b$$Die Steigung \(m\) wird durch die Steigung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) bestimmt, siehe Beispiel. Der y-Achsenabschnitt wird durch eine weitere Information, in Form einer Gleichung, berechnet.
Bestimmung der Tangentengleichung
Tangente für eine gegebene \(x\)-Koordinate bestimmen
Berechnung mit der Tangentenformel
Die Funktion \(f\left(x\right)=-2x^2+3x-1\) wird in \(x_0=2\) von einer Tangente berührt. Wir bestimmen deren Funktionsterm \(g(x)\).
Der Funktionsterm der Tangente ist also:
$$g(x)=-5x+7$$Beispiel: Beide Berechnungsmethoden im Überblick
Um den Funktionsterm einer Tangente zu bestimmen, stehen zwei Methoden zur Auswahl: Das Aufstellen mittels Tangentenformel, sowie dem Konstruieren einer Geraden durch das Lösen von Gleichungen. Hier wird beides gegenübergestellt.
Gesucht wird die Tangente, die den Funktionsgraphen von \(f\left(x\right)=-2x^2+5\) an der Stelle \(x_0=2\) berührt.
Die Verfahren liefern beide den gleichen Funktionsterm, womit also frei gewählt werden kann, wie eine Tangente aufgestellt wird. Welche Methode den geringeren Aufwand betreibt, muss von einem selbst beurteilt werden.
Beispiel: Tangente mit gegebener Steigung
Die Wendetangente
Die Wendetangenten einer Funktion \(f\) sind die Tangenten an ihren Wendepunkten. Eine Funktion kann demnach eine, mehrere oder auch keine Wendetangenten besitzen, abhängig davon wie viele Wendepunkte sie besitzt.
Beispiel einer Wendetangente
Berechne alle Wendetangenten der Funktion
$$f(x)=x^4+2x^3-12x^2+3.$$