Wendepunkte und Krümmung
- Was bedeutet Links- und Rechtskrümmung anschaulich?
- Warum ist ein Wendepunkt in Anwendungen oft besonders interessant?
Wendepunkte und Terrassenpunkte
In diesem Artikel lernst du die Eigenschaften von Wendepunkten und deren Spezialfällen, den Sattel- bzw. Terrassenpunkten, kennen.
Ein Wendepunkt \(P\left(x_P\mid f(x_P)\right)\) ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. Ist die Tangente durch diesen Punkt horizontal, so nennen wir ihn einen Terrassen- oder Sattelpunkt.
Anmerkung: In diesem Artikel wird \(f\) als dreimal differenzierbar angenommen.
Wendepunkt
Definition
Ein Wendepunkt (WP) einer Funktion \(f\) ist ein Punkt, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen von \(f\) ändert.
Dies ist gleichbedeutend dazu, dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung in \(x_0\) ändert.
Berechnung
Notwendiges Kriterium
Für jeden Wendepunkt \(x_0\) einer Funktion \(f\) gilt, dass \(f''(x_0)=0\). Die zweite Ableitung von \(f\) gleich null zu setzen, liefert also Kandidaten für Wendepunkte.
Hinreichendes Kriterium
Wenn
- \(f''(x_0)=0\) und zusätzlich
- \(f'''(x_0)\neq 0\)
gelten, dann besitzt \(f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
Vorgehen
Um die Wendepunkte nun tatsächlich zu berechnen, geht man wie folgt vor:
- Berechne die ersten 3 Ableitungen \(f'\), \(f''\) und \(f'''\) von \(f\).
- Finde alle Nullstellen \(x_i\) von \(f''\).
- Für jede Nullstelle \(x_i\) von \(f''\) prüfe, ob \(f'''(x_i) \neq 0\).
- Wenn ja \(\Rightarrow x_i\) ist ein Wendepunkt.
- Wenn nicht: Prüfe, ob \(f''\) bei \(x_0\) das Vorzeichen wechselt.
- Gib die Wendepunkte in der Form \(P_i\left(x_i \mid f(x_i)\right)\) an.
Terrassenpunkt oder Sattelpunkt
Definition
Ein Terrassenpunkt (TEP) oder Sattelpunkt (STP) ist ein Wendepunkt, in dem die Steigung einer Funktion \(0\) wird.
Berechnung
Zusätzlich zu den Bedingungen des Wendepunkts ist bei einem Terrassenpunkt auch noch die erste Ableitung \(0\).
- \(f'(x_\mathrm{STP})=0\)
- \(f''(x_\mathrm{STP})=0\)
- \(f''\) wechselt bei \(x_\mathrm{STP}\) das Vorzeichen (gilt z.B., wenn \(f'''(x_\mathrm{STP})\neq0\))
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Wendepunkte und Krümmung
- Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung. \(f''(x) > 0\) heißt linksgekrümmt (der Graph öffnet sich nach oben), \(f''(x) < 0\) rechtsgekrümmt (nach unten geöffnet).
- Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der die Krümmung wechselt. Bedingungen: \(f''(x)=0\) und \(f'''(x) \ne 0\). Die zweite Bedingung stellt sicher, dass der Wechsel wirklich stattfindet.
- Anschaulich: Beim Durchfahren einer S-Kurve ist der Wendepunkt der Moment, in dem das Lenkrad gerade steht – vorher links, danach rechts.
- In Anwendungen ist er die Stelle der stärksten Veränderung. Bei einer Wachstumskurve wächst der Bestand dort am schnellsten; danach nimmt das Wachstum wieder ab. Bei einer Kostenkurve ist es der Punkt, ab dem die Kosten schwächer steigen.
- Sattelpunkt = Wendepunkt mit waagerechter Tangente: zusätzlich gilt dort \(f'(x_0) = 0\). Jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, umgekehrt nicht.
Aufgaben
- Bestimme den Wendepunkt von \(f(x)=x^3-3x\).
Lösung
\(f''=6x=0 \Rightarrow x=0\); \(f'''=6\ne 0\); Wendepunkt \((0\mid 0)\). - Was bedeutet \(f''(x)<0\) für den Graphen?
Lösung
Rechtskrümmung, der Graph ist nach unten geöffnet. - Warum reicht \(f''(x)=0\) allein nicht?
Lösung
Die Krümmung muss auch tatsächlich wechseln; das sichert \(f'''(x)\ne 0\).
Weiterführende Aufgaben
- Sucht eine reale Wachstumskurve (Bevölkerung, Infektionszahlen, Absatz) und bestimmt näherungsweise den Wendepunkt. Was bedeutet er inhaltlich?