Nullstellen einer Funktion bestimmen

Nullstellen bestimmen

• Eine Nullstelle ist eine Stelle \(x_0\) mit \(f(x_0) = 0\) – der Punkt, an dem der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. Man löst also die Gleichung \(f(x) = 0\).
• Linear: direkt auflösen. Quadratisch: \(pq\)-Formel oder Mitternachtsformel. Höherer Grad: erst ausklammern, wenn möglich – \(x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)\) liefert sofort \(0\), \(2\) und \(-2\).
• Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist. Deshalb ist Faktorisieren immer der beste Weg.
• Substitution hilft bei biquadratischen Gleichungen: In \(x^4-5x^2+4=0\) setzt man \(u = x^2\), löst \(u^2-5u+4=0\) und zieht zum Schluss die Wurzeln zurück.
• Vielfachheit: Bei einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die Achse, bei einer doppelten berührt er sie nur (dort ist auch \(f'(x_0)=0\)), bei einer dreifachen läuft er mit einem Sattel hindurch.

1. Bestimme die Nullstellen von \(f(x) = x^2-9\).
   Lösung

   \(x = 3\) und \(x = -3\).
2. Bestimme die Nullstellen von \(f(x) = x^3-4x\).
   Lösung

   Ausklammern: \(x(x-2)(x+2)\), also \(0\), \(2\), \(-2\).
3. Was bedeutet eine doppelte Nullstelle für den Graphen?
   Lösung

   Er berührt die \(x\)-Achse, schneidet sie aber nicht.

1. Erstellt eine Übersicht: Funktionsart – geeignetes Verfahren – Beispiel. Ergänzt jeweils eine typische Fehlerquelle.