Hoch- und Tiefpunkte

Hoch- und Tiefpunkte

• Extrempunkte sind die höchsten und tiefsten Stellen des Graphen in ihrer Umgebung. Dort ist die Tangente waagerecht, also \(f'(x) = 0\).
• Der Rechenweg in vier Schritten: \(f'(x)\) bilden → \(f'(x)=0\) lösen (die Kandidaten) → \(f''\) an diesen Stellen auswerten → \(y\)-Wert über \(f(x_0)\) berechnen.
• Die Unterscheidung: \(f''(x_0) < 0\) bedeutet Rechtskrümmung, also einen Hochpunkt. \(f''(x_0) > 0\) bedeutet Linkskrümmung, also einen Tiefpunkt. Eselsbrücke: negativ – der Berg, positiv – das Tal.
• Sattelpunkt: \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) = 0\), aber die Krümmung wechselt. Der Graph wird kurz waagerecht und steigt dann weiter – wie ein Absatz in einer Treppe.
• Ein Extrempunkt ist immer ein PUNKT, also ein Paar \((x_0 \mid f(x_0))\). Nur die \(x\)-Stelle anzugeben ist eine unvollständige Antwort.

1. Bestimme die Extrempunkte von \(f(x) = x^2-4x+1\).
   Lösung

   \(f'(x)=2x-4=0 \Rightarrow x=2\); \(f''=2>0\) → Tiefpunkt \((2\mid -3)\).
2. Bestimme die Extrempunkte von \(f(x)=x^3-3x\).
   Lösung

   \(f'=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1\); \(f''=6x\): Hochpunkt \((-1\mid 2)\), Tiefpunkt \((1\mid -2)\).
3. Was liegt bei \(f(x)=x^3\) an der Stelle 0 vor?
   Lösung

   Ein Sattelpunkt – \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\), die Krümmung wechselt.

1. Löst eine Extremwertaufgabe: Aus einem Blatt \(20 \times 30\) cm wird durch Ausschneiden gleicher Ecken eine Schachtel gefaltet. Für welche Eckenlänge wird das Volumen maximal?