Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen

Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen an einer Stelle \(x\) ist die Richtungsänderung in diesem Punkt.

Man unterscheidet rechtsgekrümmte und linksgekrümmte Abschnitte sowie Wendepunkte.

Meist interessiert man sich für das Krümmungsverhalten bestimmter Abschnitte des Graphen.

Dazu betrachtet man für \(x\) aus einem bestimmten Abschnitt die zweite Ableitung:

\(f^{\prime\prime}(x)>0 \Rightarrow f\) linksgekrümmt

\(f^{\prime\prime}(x)<0 \Rightarrow f\) rechtsgekrümmt

Wie du Ableitungen berechnest, erfährst du im entsprechenden Artikel zu Ableitungen.

Merkhilfe rechts- und linksgekrümmt

Man überlegt sich, in welche Richtung man lenken müsste, wenn man mit einem Fahrrad den Funktionsgraphen nach \(+\infty\) abfahren würde. Die Richtung ist dann die Gleiche wie das Krümmungsverhalten.

Beispiel: Sinus-Funktion

Betrachtest du \(f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\) im Bereich \(\left[0,\frac{5}{2}\pi\right]\).

• Die erste Ableitung der Funktion ist \(f'(x)=\cos(x)\)
• Die zweite Ableitung dieser Funktion ist  \(f''\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\).
• Die \(x\)-Werte der Wendepunkte im Bereich \(\left[0,\frac52\pi\right]\) sind \(x_1=0\), \(x_2=\pi\), \(x_3=2\pi\).

Um zu berechnen, wie der Graph von \(f\) im Bereich \(\left[0,\pi\right]\) gekrümmt ist, setzt man einen Punkt aus diesem Intervall in die zweite Ableitung ein und betrachtet das Vorzeichen:

Es ist dabei egal, welchen Punkt aus dem Intervall man nimmt, denn das Krümmungsverhalten zwischen zwei Wendepunkten ändert sich nicht.

Man wählt zum Beispiel \(x=\frac\pi2\).

\(f^{\prime\prime}\left(\frac\pi2\right)=-\sin\left(\frac\pi2\right)=-1\;<0\)

Der Graph von \(f\) ist also im Bereich  \(\rbrack0,\pi\lbrack\) rechtsgekrümmt.

Mit dem gleichen Verfahren erhält man:

\(f\) in \(\rbrack\pi,2\pi\lbrack\) linksgekrümmt

\(f\) in \(\left[2\pi,\frac52\pi\right]\) rechtsgekrümmt

Beispiel: Quadratische Funktion

Gegeben ist eine quadratische Funktion \(f\) in der Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) mit \(a\in \mathbb R \backslash \{0\}\).

Die zweite Ableitung dieser Funktion ist \(f^{\prime\prime}(x)=2a\).

Da \(a\) konstant und ungleich Null ist, besitzt \(f\) keine Wendepunkte und behält also im gesamten Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) das gleiche Krümmungsverhalten bei:

• Ist \(a\) positiv, so ist \(f\) linksgekrümmt (in der Grafik orange), 

• Ist \(a\) negativ, so ist \(f\) rechtsgekrümmt (in der Grafik türkis).