Grenzwert einer Funktion

In diesem Artikel findest du die Grenzwerte von einigen wichtigen Funktionen. Die graphischen Darstellungen sollen dabei helfen, sich diese Grenzwerte einzuprägen. Zur Bedeutung von Grenzwerten siehe Grenzwertbetrachtung.

Potenzfunktion

Für gerade und ganzzahlige \(n>0\) gilt:

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n=\infty$$

Und für ungerade und ganzzahlige \(n>0\) gilt:

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n=-\infty$$

Für ungerade sowie gerade ganzzahlige \(n>0\) gilt:

$$\lim_{x\rightarrow\infty}x^n=\infty$$

Für gerade und ganzzahlige \(n<0\) gilt:

• $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x< 0}} x^n=\infty$$

• $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x> 0}} x^n=\infty$$

Für ungerade und ganzzahlige \(n<0\) gilt:

• $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x< 0}} x^n=-\infty$$

• $$\lim_{\substack{x\to0 \\ x> 0}} x^n=\infty$$

Für gerade sowie ungerade ganzzahlige \(n<0\) gilt:

• $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^n=0$$

• $$\lim_{x\rightarrow\infty}x^n=0$$

Wurzelfunktion

• $$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x}=\infty$$

• $$\lim_{x\rightarrow0}\sqrt{x}=0$$

Exponentialfunktion

Für reelle \(a>1\) gilt:

• $$\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=0$$

• $$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=\infty$$

Für reelle a, welche im Intervall \((0;1)\) liegen, gilt:

• $$\lim_{x\rightarrow-\infty}a^x=\infty$$

• $$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=0$$

e-Funktion

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl \(e\) als Basis. Die Bezeichnung wird an dieser Stelle genutzt, da sehr häufig mit e-Funktionen gearbeitet wird.

• $$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=0$$

• $$\lim_{x\rightarrow 0}e^x=1$$

• $$\lim_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty$$

Logarithmusfunktion

• $$\lim_{x\rightarrow0}\;\ln(x)=-\infty$$

• $$\lim_{x\rightarrow\infty}\;\ln(x)=\infty$$

Tangensfunktion

• $$\lim_{\substack{x\to-\frac{\pi}{2} \\ x< -\frac{\pi}{2}}} \tan(x)=\infty$$
• $$\lim_{\substack{x\to-\frac{\pi}{2} \\ x> -\frac{\pi}{2}}} \tan(x)=-\infty$$
• $$\lim_{\substack{x\to\frac{\pi}{2} \\ x< \frac{\pi}{2}}} \tan(x)=\infty$$
• $$\lim_{\substack{x\to\frac{\pi}{2} \\ x> \frac{\pi}{2}}} \tan(x)=-\infty$$

Rechenregeln

Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten

• $$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)+\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte und der Grenzwert eines Produktes ist das Produkt der Grenzwerte.

• $$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)-\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

• $$\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)\cdot\;\lim_{x\rightarrow a}\;g(x)$$

• $$\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{\substack{x\rightarrow a}}\;f(x)}{\lim_{\substack{x\rightarrow a}}\;g(x)}$$

Konstanter Faktor

• $$\lim_{x\rightarrow a}b\cdot f(x)= b\cdot\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$

Der konstante Faktor \(b\) kann vor den Limes gezogen werden. Konstante Faktoren können Variablen als Platzhalter für Zahlen oder auch Zahlen selbst sein. Achtung: Damit ist aber gemeint, dass \(b\) unabhängig von \(x\) ist!

Logarithmus und e-Funktion

Bei Produkten von e-Funktionen, Polynomen und Logarithmus gilt der Merkspruch  "e-Funktion gewinnt immer, Logarithmus verliert immer", d.h. z.B., dass bei einem Grenzwert wie

• $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^5e^x,$$

bei dem die e-Funkion gegen \(0\) und das Polynom gegen \(\infty\) geht, der Grenzwert sich nach der e-Funktion richtet:

• $$\lim_{x\rightarrow-\infty}x^5e^x=0$$

Beim Logarithmus geht es genau andersrum, also bei dem Grenzwert

• $$\lim_{x\rightarrow0}x\cdot \ln(x),$$

bei dem das Polynom gegen \(0\) geht und der Logarithmus gegen \(-\infty\) geht, gilt

• $$\lim_{x\rightarrow0}x\cdot \ln(x) = 0.$$

Regel von de L'Hospital 

Mit der Regel von de L'Hospital kann man den Grenzwert einiger Funktionen leichter bestimmen. Gerade wenn Quotienten untersucht werden und \(\frac{0}{0}\ \)zustande kommt.