Kurvendiskussion mit Parameter

Die Kurvendiskussion mit Parameter funktioniert genau wie die normale Kurvendiskussion, nur dass man hier mit einer Funktionenschar arbeitet, die einen Parameter beinhaltet.

Man kann dennoch alle wichtigen Bestandteile einer Kurvendiskussion bestimmen:

Bestandteile der Kurvendiskussion

• Definitionsbereich

• Nullstellen

• Grenzwerte

• Monotonieverhalten

• Extrema

• Wendepunkte

• Funktionsgraph zeichnen

Vorgehensweise am Beispiel (ausgewählte Teilaufgaben)

Aufgabenstellung: Diskutiere die Funktion \(f_k\left(x\right)=\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k}\)

Beachte: In diesem Beispiel sind vor allem die Fallunterscheidungen relevant. Man sollte verstehen, wann und warum man sie braucht.

Definitionsbereich  

Einen Artikel zu diesem Thema findest du hier.

Definitionslücken bestimmen: Nenner gleich 0 setzen

$$x-k=0\;\Leftrightarrow x=k$$

\(\Rightarrow D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\left\{k\right\}\)

Beachte: Ist die Definitionslücke hebbar?

Die Definitionslücke ist hebbar, wenn sie auch eine Zählernullstelle ist. Man setzt also k in den Zähler ein.

$$\begin{array}{l}k^2+\left(k+1\right)k+k=0\\\Leftrightarrow2k^2+2k=0\\\Leftrightarrow k=0\;\text{oder}\;k=-1\\\end{array}$$

Hebbar für \(k = -1\) oder \(k = 0\).

Nullstellen

Für allgemeines Wissen zu diesem Thema kannst du den Artikel Nullstellen besuchen.

Grenzwerte

Was genau Grenzwerte sind und wie man mit ihnen rechnet, findest du im Artikel Grenzwert.

Grenzwerte im Unendlichen

Grenzwert gegen \(\pm\infty\)

$$\displaystyle\begin{array}{l}\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f_k\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2+\left(k+1\right)x+k}{x-k}\overset{\text{gekürzt mit }x}{=}\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{\overbrace x^{\rightarrow\pm\infty}+k+1+\overbrace{\displaystyle\frac kx}^{\rightarrow0}}{\underbrace{1-\displaystyle\frac kx}_{\rightarrow1}}=\pm\infty\end{array}$$

Grenzwert an der Definitionslücke

Extrema

Wenn du nicht mehr genau weißt, was ein Extremum ist, besuche doch den Artikel Extrema berechnen.