Eine vollständige Kurvendiskussion

Eine vollständige Kurvendiskussion

• Schritt 1 – Definitionsbereich: Bei Polynomen ist er \(\mathbb{R}\); bei Brüchen sind die Nullstellen des Nenners auszuschließen.
• Schritt 2 – Symmetrie: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(f(-x)=f(x)\)). Nur ungerade → punktsymmetrisch zum Ursprung (\(f(-x)=-f(x)\)). Das halbiert die Arbeit.
• Schritt 3 – Schnittpunkte: \(y\)-Achse über \(f(0)\), \(x\)-Achse über \(f(x)=0\).
• Schritt 4 – Ableitungen: \(f'\), \(f''\) und \(f'''\) einmal sauber aufschreiben. Ein Fehler hier zieht sich durch alles Folgende.
• Schritt 5 – Extrem- und Wendepunkte nach den bekannten Bedingungen; Schritt 6 – Verhalten im Unendlichen; Schritt 7 – Skizze aus allen gefundenen Punkten.
• Die Plausibilitätsprüfung: Zwischen zwei Extrempunkten muss ein Wendepunkt liegen. Eine Funktion \(n\)-ten Grades hat höchstens \(n\) Nullstellen und höchstens \(n-1\) Extrempunkte. Passt die Skizze nicht dazu, ist irgendwo ein Rechenfehler.

1. Untersuche \(f(x)=x^3-3x\) auf Symmetrie.
   Lösung

   Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung.
2. Wie viele Extrempunkte kann eine Funktion vierten Grades höchstens haben?
   Lösung

   Drei.
3. Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt von \(f(x)=x^3-3x+5\).
   Lösung

   \(f(0)=5\).

1. Diskutiert \(f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\) vollständig und stellt das Ergebnis als beschriftete Skizze auf einem Plakat dar.