Monotonieverhalten berechnen

Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion.

Man bestimmt das Monotonieverhalten (bzw. die Monotonieintervalle) einer differenzierbaren Funktion \(f\) über ihre erste Ableitung: 

• Wenn \(f^\prime(x)\geq 0\) für alle \(x\)-Werte in einem Bereich ist, ist die Funktion dort monoton steigend. 
• Wenn \(f^\prime(x)\leq 0\) für alle \(x\)-Werte in einem Bereich ist, ist die Funktion dort monoton fallend.

Berechnung des Monotonieverhaltens

Um herauszufinden, in welchen Bereichen der Graph monoton steigend oder monoton fallend ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

Mit einer Monotonietabelle

Hier betrachtet man das Vorzeichen der 1. Ableitung um die Extrempunkte herum und schließt so auf das Monotonieverhalten.

Mit der 2. Ableitung

Hier findet man zunächst heraus, ob Hochpunkte oder Tiefpunkte vorliegen und schließt dann auf das Monotonieverhalten.

Beispiel

Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion

$$f\left(x\right)=\frac13x^3-\frac52x^2+6x+3$$

Mit einer Monotonietabelle

Bestimme die 1. Ableitung \(f^\prime\left(x\right)\):

\(f^\prime\left(x\right)=x^2-5x+6\)

Bestimme die Nullstellen von \(f^\prime\left(x\right)\):

\(x_1=2\) und \(x_2=3\)

Erstelle nun eine Vorzeichentabelle:

• Die waagrechte Linie versteht man als Zahlenstrahl. Dort werden der Größe nach die Nullstellen der 1. Ableitung angetragen (und evtl. die Polstellen der Ausgangsfunktion f(x); siehe "Achtung" unten).

• Nun betrachtet man die Intervalle zwischen den angetragenen Nullstellen.

• Man setzt irgendeinen Wert aus dem jeweiligen Intervall in die 1. Ableitung ein und notiert sich das Vorzeichen in die zweite Zeile.

• Für das 1. Intervall \(\rbrack-\infty;2\lbrack\) wähle z.B. den Wert

  $$x=0\Rightarrow f^\prime\left(0\right)=6>0$$

• Für das 2. Intervall \(\rbrack2;3\lbrack\) wähle z.B. den Wert

  $$x=2,5\Rightarrow$$$$f^\prime\left(2,5\right)=6,25-12,5+6=-0,25$$

• Für das 3. Intervall \(\rbrack3;\infty\lbrack\) wähle z.B. den Wert \(x=5\Rightarrow f^\prime\left(5\right)=25-25+6=6\gt0\)

Man kann die Vorzeichentabelle auch ausführlicher machen. Dazu benötigt man aber die 1. Ableitung in faktorisierter Darstellung:

\(f^\prime\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot\left(x-3\right)\)

Erstelle eine Vorzeichentabelle:

• 1) Zeile: Betrachte Werte für x, die kleiner als 2 sind. Dann ist das Vorzeichen des Faktors (x-2) ein Minus. Betrachtet man Werte zwischen 2 und 3 wird der Faktor (x-2) größer 0. Genauso für x-Werte, die größer als 3 sind.

• 2) Zeile: Gleiches Spiel in dieser Zeile nur das man den Faktor (x-3) betrachtet. Für Werte kleiner als 2 wird dieser Faktor natürlich negativ, genauso für Werte zwischen zwei und 3. Alle x-Werte die größer als 3 sind lassen den Faktor positiv werden.

• Die Vorzeichen in der letzten Zeile ergeben sich aus der Multiplikation der Vorzeichen, die in einer Spalte darüber liegen.

Egal welche Variante der Vorzeichentabelle man verwendet, kann man nun die Monotonie des Graphen ablesen: Ist das Vorzeichen in der letzten Zeile ein \(+\) so ist der Graph in diesem Bereich (inklusive die Ränder, außer die Ränder sind nicht im Definitionsbereich enthalten! Vergleiche hierzu: Monotonie) streng monoton steigend. Ist das Vorzeichen ein \(-\) so ist der Graph in diesem Bereich streng monoton fallend:

\(f^\prime(x)\gt0\;\rightarrow\) streng monoton steigend

\(f^\prime(x)\lt0\;\rightarrow\) streng monoton fallend

Mit der 2. Ableitung

Bestimme die 1. Ableitung \(f^\prime\left(x\right)\)

\(f^\prime\left(x\right)=x^2-5x+6\)

Bestimme die Nullstellen von \(f^\prime\left(x\right)\):

\(x_1=2\) und \(x_2=3\).

Bestimme die 2. Ableitung \(f^{''}\left(x\right)\)

Setze die Nullstellen \(x_i\) der 1. Ableitung in die zweite Ableitung ein.

Betrachte folgende Fälle:

\(f^{\prime\prime}\left(x\right)=2x-5\)

\(f^{\prime\prime}\left(2\right)=2\cdot2-5=-1\lt 0 \;\rightarrow\) Hochpunkt

\(f^{\prime\prime}\left(3\right)=2\cdot3-5=1\gt 0\;\rightarrow\) Tiefpunkt

Wenn man weiß, ob ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt vorliegt, kennt man auch die Monotonie des Graphen vor bzw. nach diesen Stellen:

• Tiefpunkt: links davon fallend, rechts davon steigend
• Hochpunkt: links davon steigend, rechts davon fallend
• Terrassenpunkt: links und rechts davon gleiche Monotonie

Hochpunkt bei \(x=2\) und Tiefpunkt bei \(x=3\)