Potenzen & Wurzeln – Mathematik

Themen in diesem Bereich

Potenzen mit natürlichen Exponenten Zehnerpotenzen für große und kleine Zahlen Potenzgesetze Quadratwurzeln Kubikwurzeln Binomische Formeln

Potenzen

Das Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrmalige Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst.

Beispiel: Man schreibt $\underbrace{2\cdot2\cdot2}_{3~Faktoren} $ als $2^3$.

Der Exponent bzw. die Hochzahl, in diesem Beispiel die 3, beschreibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

Generell hat jede Zahl ohne Exponenten den Exponent $1$.

Es gilt: $x=x^1$.

Der Exponent wird in diesem Fall meist weggelassen.

Beispiel: $3^1=3$

Potenziert man eine beliebige Zahl $x$ mit $0$, so erhält man immer $x^0=1$.

Beispieltabelle

Basis und Exponent

Die Zahl, welche mit sich selbst multipliziert werden soll, nennt man Basis, die Anzahl Exponent, beides zusammen ist die Potenz und das Ergebnis dieser Rechnung ist der Wert der Potenz.

Potenzen mit negativer Basis

Wird eine negative Zahl potenziert, hängt das Vorzeichen des Ergebnisses davon ab, ob der Exponent eine gerade oder ungerade Zahl ist. Ist er gerade, ist das Ergebnis positiv, ist er ungerade, bleibt die Potenz negativ.

Beispiel:

$\left(-2\right)^2=\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\ =\ +4\ $

$\left(-2\right)^3=\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\ =\ -8$

Potenzen mit negativem Exponenten

Wie kann man $a^{-k}$ interpretieren?

$$a^{-k}=\frac{1}{a^k}$$

Beispiele:

$2^{-1}=\dfrac12 $

$4^{-2}=\dfrac1{4^2}=\dfrac1{16}$

$\frac{3}{25}=3\cdot\frac{1}{25}=3\cdot5^{-2}$

Rationale Exponenten

Zahlen, die man mit einer rationalen Zahl (also einem Bruch) potenziert, kann man als Wurzel identifizieren:

$$x^\frac{a}{b}=\sqrt[b]{x^a}$$

Damit gilt umgekehrt für die Standard-Wurzel:

$$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x} =x^\frac{1}{2}$$

Beispiele:

$$5^\frac{5}{4} = \sqrt[4]{5^5}$$

$$7^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{7^2}}$$

Rechnen mit Potenzen

Im Artikel Potenzgesetze kannst du nachlesen, wie man mit Potenzen rechnet und welche Potenzgesetze es gibt.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Potenzen, Wurzeln und binomische Formeln

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für wiederholtes Multiplizieren: $2^5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32$. $2$ ist die Basis, $5$ der Exponent.
Potenzgesetze: $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$. Daraus folgt $a^0 = 1$ und $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Zehnerpotenzen machen sehr große und sehr kleine Zahlen lesbar: $299\,792\,458\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 3{,}0\cdot 10^{8}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$; $0{,}001 = 10^{-3}$.
Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. $\sqrt{a}$ ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt – deshalb ist $\sqrt{9} = 3$. Die Gleichung $x^2 = 9$ hat dagegen zwei Lösungen: $3$ und $-3$.
Die Kubikwurzel $\sqrt[3]{a}$ kehrt das Hochdreinehmen um – sie wird gebraucht, wenn aus einem Volumen die Kantenlänge folgen soll.
Binomische Formeln: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. Damit rechnet man auch im Kopf: $19\cdot 21 = (20-1)(20+1) = 400-1 = 399$.

Aufgaben

Berechne: (a) $3^4$ (b) $2^{-3}$ (c) $\sqrt{144}$ (d) $\sqrt[3]{64}$.
Lösung
(a) 81 · (b) $\frac{1}{8} = 0{,}125$ · (c) 12 · (d) 4.
Schreibe in Zehnerpotenzschreibweise: (a) 45 000 000 (b) 0,00072.
Lösung
(a) $4{,}5\cdot 10^{7}$ · (b) $7{,}2\cdot 10^{-4}$.
Multipliziere aus: (a) $(x+5)^2$ (b) $(3a-2)^2$ (c) $(x+7)(x-7)$.
Lösung
(a) $x^2+10x+25$ · (b) $9a^2-12a+4$ · (c) $x^2-49$.
Ein Würfel hat das Volumen $216\,\mathrm{cm^3}$. Wie lang ist eine Kante?
Lösung
$\sqrt[3]{216} = 6\,\mathrm{cm}$.

Weiterführende Aufgaben

Bestimme $\sqrt{2}$ auf drei Nachkommastellen durch systematisches Probieren (Intervallhalbierung) – ohne Wurzeltaste.
Suche in Physik und Biologie je eine Größe, die man sinnvoll nur mit Zehnerpotenzen angibt, und begründe warum.