Proportionalität – Mathematik

Themen in diesem Bereich

Proportionale Zuordnungen Antiproportionale Zuordnungen Zuordnungen in Tabellen, Graphen und Termen Maßstab

Zum Ausprobieren: Verhältnis und Proportion

Halten Sie das Verhältnis und verändern Sie beide Größen gemeinsam.

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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)

Direkte Proportionalität

Zwei Größen sind dann direkt proportional zueinander, wenn die eine Größe aus der anderen hervorgeht, indem man sie mit immer dem gleichen Faktor multipliziert.

\(\Rightarrow\text{Größe 2}=\text{Größe 1}\cdot\text{gleichbleibenden Faktor}\)

Anders ausgedrückt: Bei der direkten Proportionalität zweier Größen ist das Verhältnis dieser Größen - also ihr Quotient - immer gleich. Das ist genau wie bei einem Bruch, dessen Wert sich nicht ändert, wenn man ihn kürzt oder erweitert.

\(\Rightarrow \frac{\text{Größe 2}}{\text{Größe 1}}=\text{gleichbleibenden Faktor}\)

Darstellung

Die direkte Proportionalität wird mit dem Zeichen \(\sim\) verdeutlicht.

\(a\sim b\) bedeutet also "\(a\) ist direkt proportional zu \(b\)".

Begrifflichkeit

Größe 1 ist die Grundgröße, Größe 2 die zugeordnete Größe.
Das Verhältnis, in dem die beiden Größen zueinander stehen, wird auch Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.
\(\textcolor{violet}{\text{Proportionalitätsfaktor}}=\frac{\textcolor{green}{\text{zugeordnete Größe}}}{\textcolor{orange}{\text{Grundgröße}}}\)

Der Preis ist proportional zum Gewicht. Die Proportionalitätskonstante ergibt sich aus dem Verhältnis der Grundgröße und der zugeordneten Größe. Hier ist die Proportionalitätskonstante \(\textcolor{violet}{8}\).

Möchte man wissen, wie viel 10 Kilo Kirschen kosten, multipliziert du das Gewicht mit dem Proportionalitätsfaktor:

\(\textcolor{orange}{10}\cdot\textcolor{violet}{8}€=\textcolor{green}{80}€\) \(\;\;\Rightarrow\;\;\) 10 Kilo Kirschen kosten 80 €.

Der Funktionsgraph einer direkten Proportionalität

Trägt man alle berechneten Werte so in ein Koordinatensystem ein, dass auf der \(x\)-Achse die Werte der Grundgröße und auf der \(y\)-Achse die Werte der zugeordneten Größe stehen, dann ergibt sich immer eine Ursprungsgerade mit der Formel \(\textcolor{green}{f(x)}=\textcolor{violet}{m}\cdot \textcolor{orange}{x}\). Dabei ist \(m\) der Proportionalitätsfaktor, welcher zugleich die Geradensteigung angibt.

Video zum Thema direkte Proportionalität

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Zuordnungen und Proportionalität

Eine Zuordnung ordnet jedem Wert der einen Größe genau einen Wert der anderen zu: Menge → Preis, Zeit → Weg, Länge auf der Karte → Länge in Wirklichkeit.
Proportional heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Der Quotient bleibt gleich: \(\frac{y}{x} = k\), also \(y = k\cdot x\). Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.
Der Faktor \(k\) hat immer eine Bedeutung in der Sache: Preis je Kilogramm, Geschwindigkeit in km/h, Verbrauch je 100 km.
Antiproportional heißt: Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Das Produkt bleibt gleich: \(x\cdot y = k\). Der Graph ist eine gebogene Kurve (Hyperbel), die die Achsen nie berührt.
Der Maßstab ist ein Sonderfall: \(1:25\,000\) bedeutet, dass 1 cm auf der Karte 25 000 cm \(= 250\,\mathrm{m}\) in Wirklichkeit entspricht.
Jede Zuordnung lässt sich auf vier Arten darstellen: als Text, als Wertetabelle, als Graph und als Term. Zwischen ihnen zu wechseln ist die eigentliche Fähigkeit.

Aufgaben

Prüfe, ob proportional: (a) 2 kg → 3 €, 5 kg → 7,50 €, 8 kg → 12 €. (b) 1 Person → 30 min, 2 Personen → 15 min.
Lösung
(a) proportional, \(k = 1{,}5\) €/kg. (b) antiproportional, \(x\cdot y = 30\).
Ein Wasserhahn füllt in 4 Minuten 30 Liter. Stelle eine Wertetabelle für 1 bis 6 Minuten auf und gib den Term an.
Lösung
\(k = 7{,}5\) l/min, also \(y = 7{,}5\cdot x\); 7,5 · 15 · 22,5 · 30 · 37,5 · 45 Liter.
Auf einer Karte im Maßstab \(1:25\,000\) sind zwei Orte 6 cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie wirklich auseinander?
Lösung
\(6\cdot 25\,000\,\mathrm{cm} = 150\,000\,\mathrm{cm} = 1{,}5\,\mathrm{km}\).

Weiterführende Aufgaben

Zeichne die Graphen einer proportionalen und einer antiproportionalen Zuordnung in ein Koordinatensystem und beschreibe die Unterschiede in eigenen Worten.
Miss auf einem Stadtplan den Schulweg aus und rechne ihn in Meter um. Vergleiche mit einer Kartenanwendung.