Quadratwurzeln
- Was bedeutet das Wurzelzeichen?
- Warum hat \(x^2 = 9\) zwei Lösungen, \(\sqrt{9}\) aber nur einen Wert?
Rechnen mit Quadratwurzeln
Wurzeln kann man sowohl aus Zahlen als auch aus Termen ziehen. Aber auch beim Lösen von Gleichungen sind Wurzeln sehr wichtig.
Quadratwurzel aus Termen
Man kann Wurzeln nicht nur aus Zahlen, sondern auch aus Termen ziehen. Auch hier muss man beachten, dass der Radikand (= das, was unter der Wurzel steht) nicht negativ wird. Und genauso wie bei Quadratwurzeln von Zahlen ist die Quadratwurzel von Termen immer positiv oder 0.
Beispiele
- \(\sqrt{5x+8}\)
- \(\sqrt{(a+2)^2}\)
- \(-\sqrt{x-7}\)
Definitionsmenge
Beim Wurzelziehen aus Termen muss man darauf achten, dass der Radikand nicht negativ wird. Das heißt, man muss den Definitionsbereich beachten.
Wurzeln und der Betrag
Steht unter der Wurzel ein Term, so muss man beim Radizieren den Betrag berücksichtigen, damit immer ein positiver Ausdruck herauskommt.
Beispiele
- \(\sqrt{x^2}=\left|x\right|\)
- \(\left( \sqrt{x} \right)^2=x\)
Vorgehensweise
Rechenregeln
"Rationalmachen" des Nenners
Ist eine Zahl gegeben durch \(\dfrac{a}{\sqrt{b}}\), dann kann man diese Zahl mit \(\sqrt b\) erweitern, um die Wurzel aus dem Nenner wegzubekommen. Die Rechenschritte sind folgende:
\(\dfrac a{\sqrt b}=\dfrac a{\sqrt b}\cdot\dfrac{\sqrt b}{\sqrt b}=\dfrac{a\cdot\sqrt b}{\sqrt b\cdot\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}b\)
Wurzelziehen in Gleichungen
Verwendet man Wurzeln, um Gleichungen zu vereinfachen, muss man aufpassen, dass man manche Lösungen nicht verliert! Deshalb muss man auch hier den Betrag verwenden. Ein einfaches Beispiel soll das verdeutlichen:
Hätte man die Betragsstriche nicht verwendet, wäre die Lösung nur \(x=2\) gewesen. Man hätte also die Lösung \(x=-2\) verloren!
Video
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Quadratwurzeln
- Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(a\) ergibt. \(\sqrt{49} = 7\), weil \(7^2 = 49\).
- Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. Aus einer Fläche wird damit die Seitenlänge.
- Der Unterschied, der oft verwirrt: \(\sqrt{9} = 3\) (ein Wert), aber die Gleichung \(x^2 = 9\) hat die Lösungen \(3\) und \(-3\).
- Aus negativen Zahlen lässt sich keine Quadratwurzel ziehen – kein Quadrat ist negativ.
- Quadratzahlen sollte man bis 20 kennen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.
- Die meisten Wurzeln sind irrational: \(\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots\) bricht nie ab und wiederholt sich nicht. Man rundet oder lässt die Wurzel stehen.
Aufgaben
- Berechne: \(\sqrt{64}\), \(\sqrt{121}\), \(\sqrt{0{,}25}\).
Lösung
8; 11; 0,5. - Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\sqrt{50}\)?
Lösung
Zwischen 7 und 8, denn \(49 < 50 < 64\); genauer \(\approx 7{,}07\). - Ein Quadrat hat den Flächeninhalt \(196\,\mathrm{cm^2}\). Wie lang ist eine Seite?
Lösung
\(\sqrt{196} = 14\,\mathrm{cm}\).
Weiterführende Aufgaben
- Bestimme \(\sqrt{7}\) auf zwei Nachkommastellen durch systematisches Einschachteln – ohne Wurzeltaste.