Potenzgesetze

Die Potenzgesetze

• Gleiche Basis, multiplizieren: \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\). Grund: \(2^3\cdot 2^2\) sind drei plus zwei Zweien nebeneinander.
• Gleiche Basis, dividieren: \(a^m : a^n = a^{m-n}\).
• Potenz einer Potenz: \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\).
• Gleicher Exponent: \(a^n\cdot b^n = (a\cdot b)^n\).
• Aus der Divisionsregel folgt zweierlei: \(a^0 = 1\) (weil \(a^n:a^n = a^{0}\) und zugleich 1 ist) und \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
• Achtung: Für verschiedene Basen und verschiedene Exponenten gibt es keine Regel – \(2^3\cdot 3^2\) muss man ausrechnen.

1. Vereinfache: (a) \(x^4\cdot x^3\) (b) \(\frac{a^7}{a^2}\) (c) \((y^2)^5\).
   Lösung

   (a) \(x^7\) · (b) \(a^5\) · (c) \(y^{10}\).
2. Berechne: \(10^{5}\cdot 10^{-2}\) und \(\frac{10^{3}}{10^{6}}\).
   Lösung

   \(10^{3} = 1\,000\) und \(10^{-3} = 0{,}001\).
3. Schreibe ohne negativen Exponenten: \(5^{-2}\) und \(x^{-1}\).
   Lösung

   \(\frac{1}{25}\) und \(\frac{1}{x}\).

1. Begründe \(a^0 = 1\), indem du die Reihe \(a^3, a^2, a^1, \ldots\) fortsetzt und jedes Mal durch \(a\) teilst.