Binomische Formeln
- Warum steht in \((a+b)^2\) das Glied \(2ab\)?
- Wie helfen die binomischen Formeln beim Kopfrechnen?
Zum Ausprobieren: Flächenmodell Algebra
Zerlegen Sie das Rechteck mit Variablen und vergleichen Sie mit der binomischen Formel.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Binomische Formeln
Es gibt drei binomische Formeln,
- die erste (Plus-Formel),
- die zweite (Minus-Formel) und
- die dritte (Plus-Minus-Formel)
Alle drei kommen oft vor und sind wichtige Hilfsmittel zum Rechnen.
1. binomische Formel
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b_{ }^2$$
Beispiel:
\((x+3)^2=x^2+2\cdot3\cdot x+3^2=x^2+6x+9\)
2. binomische Formel
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Beispiel:
\((x-3)^2=x^2-2\cdot3\cdot x+3^2=x^2-6x+9\)
3. binomische Formel
$$(a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2$$
Beispiel:
\((x-3)(x+3)=x^2-3^2=x^2-9\)
Verwendung der binomischen Formeln
Die binomischen Formeln werden in zwei verschiedene Richtungen angewendet:
- "vorwärts" zum Auflösen der Klammern oder
- "rückwärts" zum Umwandeln einer Summe bzw. Differenz in ein Produkt ("Faktorisieren")
Binomische Formeln "vorwärts" (d.h. zum Auflösen der Klammern)
Hierbei wird ein Produktterm in eine Summe oder Differenz umgewandelt.
Allgemeine Vorgehensweise
- Terme vergleichen und entscheiden, welche Formel man anwenden muss
- Sich klarmachen, was \(a\) und \(b\) ist
- Formel anwenden
Beispiele
- 1. binomische Formel:\((2x+1)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2+4x+1\)
- 2. binomische Formel: \((x-7)^2=x^2-2\cdot x\cdot7+7^2=x^2-14x+49\)
- 3. binomische Formel: \((x+4)\cdot(x-4)=x^2-4^2=x^2-16\)
Binomische Formeln "rückwärts" (d.h. zum Faktorisieren)
Man kann die binomische Formel auch umgekehrt anwenden. Hier macht man aus Summen Produkte. Das hat vor allem Vorteile beim Kürzen.
Allgemeine Vorgehensweise
Zuerst musst du überprüfen, wie viele Summanden der Term besitzt.
- Sind es drei, so kommen die ersten beiden Formeln infrage,
- sind es zwei, so kann die dritte Formel hilfreich sein,
- sind es mehr als drei Summanden, so muss man zuerst versuchen, die Terme zusammenfassen.
Drei Summanden
Hat man drei Summanden, so überprüft man, ob zwei der Summanden Quadrate mit positiven Vorzeichen sind. Notfalls muss man zuerst einen geeigneten Faktor ausklammern. Die Wurzeln dieser Quadrate nennt man \(a\) und \(b\).
Ist dies der Fall, so muss man noch den mittleren Term überprüfen, indem man \(2ab\) berechnet.
Falls dieses Ergebnis mit dem mittleren Summanden aus der Aufgabenstellung übereinstimmt, kann man die binomische Formel zum Faktorisieren benutzen, indem man nun noch das Vorzeichen betrachtet und je nachdem die erste oder die zweite binomische Formel benutzt.
Zwei Summanden
Hat man zwei Summanden, so überprüft man, ob nur vor einem der beiden Summanden ein Minuszeichen steht.
Ist dies der Fall, so überprüft man, ob die beiden Summanden Quadrate sind. Ist das auch der Fall, so kann man mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren.
Falls keiner der Summanden ein Quadratterm ist, kann man noch versuchen, einen geeigneten Faktor auszuklammern.
Keiner der Wege funktioniert
Der Term lässt sich nicht mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren. Hier kannst du nur vereinfachen, indem du die quadratische Ergänzung benutzt, das ist dann allerdings keine Faktorisierung mehr.
Der zugehörige Entscheidungsbaum sieht aus wie folgt:
Beispiel 1
$$4r^2+4r+1$$
- Man kann nichts ausklammern/zusammenfassen und wir haben drei Summanden.
- Es gibt 2 Quadratterme: \(4r^2\) und \(1\)
- Sie haben beide ein positives Vorzeichen.
- Mischterm überprüfen:
- \(4r^2=(2r)^2\), \(1=1^2\), also muss der Mischterm \(2\cdot2r=4r\) sein.
- Das passt zur 1. binomischen Formel mit \(a=2r\) und \(b=1\).
- Man bekommt das Ergebnis \(4r^2+4r+1=(2r+1)^2\).
Beispiel 2
$$11x^3-44x$$
- Den Term \(11x\) ausklammern: \(11x\cdot(x^2-4)\)
- Es gibt 2 Quadratterme: \(x^2\) und \(4\)
- \(x^2\) hat positives Vorzeichen, \(4\) hat negatives Vorzeichen.
- Es lässt sich die 3. binomische Formel anwenden, mit \(a=x\) und \(b=2\).
- Man bekommt als Ergebnis \(11x^3-44x=11x\cdot(x+2)\cdot(x-2)\).
Beispiel 3
$$-2p^2+6p-18$$
- Den Term \(-2\) ausklammern: \(-2(p^2-3p+9)\)
- Es gibt 2 Quadratterme: \(p^2\) und \(9\)
- Sie haben beide positives Vorzeichen.
- Mischterm überprüfen:
- \(p^2=(p)^2\), \(9=3^2\), also muss der Mischterm \(2\cdot p\cdot3=6p\) sein.
- Die Mischterme stimmen nicht überein.
- Es lässt sich keine binomische Formel anwenden.
Video zum Thema Binomische Formeln
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Die binomischen Formeln
- 1. Formel: \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\).
- 2. Formel: \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\).
- 3. Formel: \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\).
- Das mittlere Glied \(2ab\) entsteht, weil beim Ausmultiplizieren zweimal dasselbe Produkt auftritt: \(a\cdot b\) und \(b\cdot a\). Der häufigste Fehler ist, es zu vergessen – \((a+b)^2\) ist nicht \(a^2+b^2\).
- Anschaulich: Ein Quadrat der Seitenlänge \(a+b\) zerfällt in ein \(a\)-Quadrat, ein \(b\)-Quadrat und zwei Rechtecke \(a\cdot b\).
- Kopfrechnen: \(19\cdot 21 = (20-1)(20+1) = 400-1 = 399\); \(102^2 = 100^2+2\cdot 100\cdot 2+4 = 10\,404\).
- Rückwärts gelesen dienen sie zum Faktorisieren: \(x^2-16 = (x+4)(x-4)\).
Aufgaben
- Multipliziere aus: (a) \((x+6)^2\) (b) \((2a-3)^2\) (c) \((y+5)(y-5)\).
Lösung
(a) \(x^2+12x+36\) · (b) \(4a^2-12a+9\) · (c) \(y^2-25\). - Faktorisiere: (a) \(x^2-49\) (b) \(x^2+10x+25\).
Lösung
(a) \((x+7)(x-7)\) · (b) \((x+5)^2\). - Rechne im Kopf: \(98\cdot 102\).
Lösung
\((100-2)(100+2) = 10\,000-4 = 9\,996\).
Weiterführende Aufgaben
- Zeichne das Quadrat zu \((a+b)^2\) mit \(a = 5\) und \(b = 3\) und beschrifte alle vier Teilflächen.