Körper & Volumen
- Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es?
- Warum passt in einen Kegel genau ein Drittel des Zylinders?
- Wie berechnet man die Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers?
Themen in diesem Bereich
Volumen
Wer ist in seiner Schullaufbahn nicht der Aufgabe "Berechne das Volumen der Kugel!" begegnet? Aber was ist überhaupt ein Volumen?
Um diese Frage beantworten zu können, kann man mit einer anderen Einstiegsfrage anfangen: Wie viel Wasser passt in ein Aquarium? Antwort: In ein Aquarium passen \(\ldots \, \mathrm{l}\) Wasser. Dabei ist \(\mathrm{l}\) die Volumeneinheit Liter, die auch mit \(1 \; \mathrm{l} = 1 \; \mathrm{dm}^3\) bekannt ist.
Wenn man einen Festkörper, in dem Fall ein Aquarium, mit Wasser füllen möchte, so braucht man eine bestimme Menge an Wasser, damit man weder zu wenig noch zu viel hat. Ein Aquarium hat die Form eines Quaders. Dieser ist also ein fester Körper im dreidimensionalen Raum. Dieser Quader, also das Aquarium, hat eine bestimmte Länge \(l\), Breite \(b\) und Höhe \(h\). Damit man ausrechnen kann, wie viel Wasser er nun fasst, sollte man seinen gesamten Inhalt bestimmen.
Betrachtet man das Ganze im Zweidimensionalen, so hat man ein Rechteck als Grundfläche. Will man aus dem Rechteck einen Quader erzeugen, so geht man eine Ebene in die Höhe. Daraus ergibt sich auch ganz leicht die Volumenformel eines Quaders:
$$V_{Aquarium} = G \cdot h = l \cdot b \cdot h$$Der Inhalt eines Festkörpers ist also das Volumen. Anders ausgedrückt: Ein Volumen ist der Inhalt eines festen Körpers, der durch seine Oberfläche eingegrenzt wird.
Damit man sich bei der Rechnung sicherer fühlt, kann man auch dazu den Artikel Rechnen mit Einheiten betrachten.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Körper, Oberfläche und Volumen
- Körper werden nach ihren Flächen unterschieden: Würfel und Quader, Prisma (Säule), Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel.
- Das Netz ist der aufgeklappte Körper – daraus liest man die Oberfläche ab. Das Schrägbild zeigt ihn räumlich: nach hinten laufende Kanten unter \(45^\circ\) und meist nur halb so lang gezeichnet.
- Würfel: \(V = a^3\), \(O = 6a^2\). Quader: \(V = a\cdot b\cdot c\), \(O = 2(ab+ac+bc)\).
- Prisma und Zylinder folgen derselben Regel: \(V = G\cdot h\) (Grundfläche mal Höhe). Beim Zylinder ist \(G = \pi r^2\), die Mantelfläche ist ein Rechteck mit der Breite \(2\pi r\).
- Pyramide und Kegel haben nur ein Drittel davon: \(V = \frac{1}{3}G\cdot h\). Das lässt sich mit einem Umschüttversuch zeigen – drei Kegelfüllungen füllen genau einen Zylinder gleicher Grundfläche und Höhe.
- Kugel: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), \(O = 4\pi r^2\).
- Zusammengesetzte Körper zerlegt man in bekannte Teile. Achtung bei der Oberfläche: Die Klebeflächen liegen innen und zählen nicht mit.
Aufgaben
- Ein Quader misst \(8\,\mathrm{cm}\times 5\,\mathrm{cm}\times 3\,\mathrm{cm}\). Volumen und Oberfläche?
Lösung
\(V = 120\,\mathrm{cm^3}\); \(O = 2(40+24+15) = 158\,\mathrm{cm^2}\). - Eine Konservendose hat \(r = 4\,\mathrm{cm}\) und \(h = 11\,\mathrm{cm}\). Wie viel passt hinein?
Lösung
\(V = \pi\cdot 16\cdot 11 \approx 553\,\mathrm{cm^3} \approx 0{,}55\,\mathrm{l}\). - Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit \(a = 6\,\mathrm{cm}\) und die Höhe \(9\,\mathrm{cm}\). Volumen?
Lösung
\(V = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 9 = 108\,\mathrm{cm^3}\). - Ein Silo besteht aus einem Zylinder (\(r=2\,\mathrm{m}\), \(h=6\,\mathrm{m}\)) mit aufgesetztem Kegel (\(h=3\,\mathrm{m}\)). Wie groß ist das Gesamtvolumen?
Lösung
Zylinder \(\approx 75{,}4\,\mathrm{m^3}\), Kegel \(\approx 12{,}6\,\mathrm{m^3}\), zusammen rund \(88\,\mathrm{m^3}\).
Weiterführende Aufgaben
- Finde alle elf Würfelnetze. Wie kannst du sicher sein, keins doppelt und keins vergessen zu haben?
- Entwirf eine Verpackung für 1 Liter Inhalt, die möglichst wenig Material braucht. Welche Form gewinnt – und warum verkauft der Handel trotzdem eckige Kartons?