Pyramide, Kegel und Kugel
- Warum steht bei Pyramide und Kegel ein Drittel in der Formel?
- Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?
Pyramide
Eine Pyramide ist ein Körper, der durch Verbinden aller Ecken eines beliebigen Vielecks mit einem Punkt außerhalb der Ebene, in der das Vieleck liegt, entsteht.
Volumen
\(V_\text{Pyramide} = \frac{1}{3}\cdot G \cdot h\)
G: Grundfläche
h: Höhe
Oberflächeninhalt
Weitere Formeln für Berechnungen an einer geraden, regelmäßigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche
Grundfläche
Diagonale d:
Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck:
Seitenfläche
Höhe eines Dreiecks \(h_a\):
Betrachte einen Ausschnitt aus dem obigen Pyramidenbild, der die Dreieckshöhe \(h_a\) enthält.
Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck:
Seitenfläche
Seitenkante s:
(Möglichkeit 1 für die Berechnung)
Betrachte einen Ausschnitt aus dem obigen Pyramidenbild, der die Seitenkante \(s\) und die Dreieckshöhe \(h_a\) enthält.
Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck:
Seitenfläche
Seitenkante s:
(Möglichkeit 2 für die Berechnung)
Betrachte einen Ausschnitt aus dem obigen Pyramidenbild, der die Seitenkante \(s\) und die Pyramidenhöhe \(h\) enthält.
Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck:
Video zum Thema Oberfläche und Volumen der Pyramide
Sonderformen der Pyramide
Berechnen des Volumens anderer Körper
Im Artikel Volumenberechnung in der analytischen Geometrie findet man eine fortgeschrittenere Variante für die Berechnung des Volumens einer Pyramide. Auch das Volumen anderer Körper wird dort berechnet.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Pyramide, Kegel und Kugel
- Pyramide und Kegel haben ein Drittel des Volumens der Säule mit gleicher Grundfläche und Höhe: \(V = \frac{1}{3}G\cdot h\).
- Zeigen lässt sich das mit einem Umschüttversuch: Drei Kegelfüllungen füllen genau einen Zylinder gleicher Grundfläche und Höhe.
- Kegel: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2h\); Mantelfläche \(M = \pi r s\), wobei \(s\) die Seitenlinie ist (\(s = \sqrt{r^2+h^2}\), Pythagoras).
- Pyramide: Die Oberfläche ist die Grundfläche plus die Dreiecke – dafür braucht man die Höhe der Seitenflächen, nicht die Körperhöhe.
- Kugel: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), \(O = 4\pi r^2\). Die Oberfläche ist also genau viermal so groß wie die Fläche des größten Kreisschnitts.
- Achtung: Körperhöhe und Seitenhöhe verwechseln ist der häufigste Fehler bei Pyramide und Kegel.
Aufgaben
- Eine quadratische Pyramide hat \(a=6\,\mathrm{cm}\) und \(h=10\,\mathrm{cm}\). Volumen?
Lösung
\(\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 10 = 120\,\mathrm{cm^3}\). - Ein Kegel mit \(r=4\,\mathrm{cm}\), \(h=9\,\mathrm{cm}\): Volumen?
Lösung
\(\frac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot 9 \approx 150{,}8\,\mathrm{cm^3}\). - Ein Ball hat 22 cm Durchmesser. Volumen und Oberfläche?
Lösung
\(r=11\,\mathrm{cm}\); \(V \approx 5\,575\,\mathrm{cm^3}\); \(O \approx 1\,520\,\mathrm{cm^2}\).
Weiterführende Aufgaben
- Führe den Umschüttversuch durch (Kegel und Zylinder aus Papier) und beschreibe, was du beobachtest.