Prisma und Zylinder

Ein Prisma ist ein dreidimensionaler Körper, der

• auf der einen Seite ein n-Eck als Grundfläche,
• von dort aus parallele und gleich lange Kanten,
• und auf der gegenüberliegenden Seite ein zur Grundfläche kongruentes n-Eck als Deckfläche

hat.

Bei der Bezeichnung der Prismen wie dreiseitiges und fünfseitiges Prisma bezieht man sich auf die Anzahl der Seitenflächen.

Wenn die parallelen Kanten senkrecht auf der Grundfläche stehen, ist das Prisma ein gerades Prisma, andernfalls ein schiefes Prisma.

In der Schule werden oft nur gerade Prismen betrachtet.

Beispiele für Prismen in der realen Welt

Manche Gegenstände habe ungefähr die Form eines Prismas:

Diese Geschenkschachtel hat ungefähr die Form eines Primas, mit einem regulären Sechseck als Grundfläche.

Wenn ein Marmeladenglas nicht rund ist, sondern eckig - so wie im Bild das mittlere Glas - dann liegt ihm als Grundform nicht ein Zylinder, sondern ein Prisma zugrunde.

Mit der Vorderfront als "Grundfläche" ist solch ein Gewächshaus annähernd ein Prisma.

In der Physik werden Prismen aus Glas oder Kunststoff verwendet, um weißes Licht in Regenbogenfarben zu zerlegen.

Mit einem dreiseitigen Prisma aus Glas kann man eindrucksvoll die Lichtbrechung demonstrieren.

Prisma durch Parallelverschiebung eines Vielecks

Man kann sich ein Prisma als ein dreidimensionales Objekt vorstellen, das durch eine Parallelverschiebung eines n-Ecks entsteht. Die Verschieberichtung darf dabei nicht innerhalb der Ebene des n-Ecks liegen (3. Dimension notwendig).

Beispiel: Alle Eckpunkte des unteren Dreiecks (siehe Bild) werden entlang paralleler Geraden nach oben verschoben, sodass oben das gleiche Dreieck noch einmal erscheint.

Unteres Dreieck, oberes Dreieck und alle Punkte dazwischen bilden dann zusammen das Prisma.

Bezeichnungen beim Prisma

Grundfläche eines Prismas

Als Grundfläche des Prismas bezeichnet man eines der beiden kongruenten Vielecke, die durch die parallelen Kanten verbunden sind.

(Das gegenüberliegende kongruente Vieleck nennt man dann Deckfläche. Welches der beiden Vielecke man als Grundfläche und welches als Deckfläche auffasst, ist in der Regel egal.)

An diesem Beispiel kann man erkennen, dass die "Grundfläche" trotz ihrer Bezeichnung nicht unbedingt unten sein muss. Ein Prisma kann auch auf einer der Seitenflächen liegen.

Höhe eines Prismas

Die Höhe eines Prismas ist der Abstand zwischen der Ebene, in der die Grundfläche des Prismas liegt, zu der Ebene, in der die (der Grundfläche gegenüber liegende) Deckfläche liegt.

Höhe bei einem geraden Prisma

Bei einem geraden Prisma ist die Höhe gleich der Länge der parallelen Kanten und

• wenn das Prisma auf der Grundfläche steht, ist das auch wirklich die "Höhe" des Prismas im umgangssprachlichen Sinn.

• Wenn das Prisma auf einer der Seitenflächen liegt, ist die "Höhe des Prismas" das, was man normalerweise wahrscheinlich eher "Länge des Prismas" nennen würde.

Höhe eines schiefen Prismas

Bei einem schiefen Prisma muss die Höhe trotzdem als senkrechter Abstand gemessen werden - das heißt, die Höhe liegt "außerhalb" des Prismas.

Wichtige Formeln zum Prisma

Bemerkung: Bei den Abbildungen zu den Formeln ist hier immer nur ein dreiseitiges Prisma gezeichnet, das heißt, ein Prisma, das ein Dreieck als Grund- und als Deckfläche besitzt. Natürlich kann ein Prisma aber auch mehr Seiten haben!

Volumen

Das Volumen eines Prismas berechnet man, indem man

• den Flächeninhalt der Grundfläche des Prisma mit der Höhe des Prismas multipliziert:

Wie man den Flächeninhalt der Grundfläche ausrechnet, hängt davon ab, welche Form die Grundfläche hat.

Mantelfläche

\(\mathrm M=\mathrm S_1+S_2+\dots +S_n\)

• n bezeichnet die Anzahl der Seitenflächen
• \(\mathrm S_1, S_2, \dots S_n\) bezeichnen die Seitenflächen des Prismas

Hat die Grundfläche \(G\) einen Umfang \(u\), gilt für die Mantelfläche \(M=u\cdot h\).

Oberflächeninhalt

Um den Oberflächeninhalt eines Prismas zu berechnen, muss man

• zum Mantelflächeninhalt noch den Inhalt der Grund- und der Deckfläche addieren.

Da Grund- und Deckfläche aber gleich groß sind, erhält man die Formel:

Video zum Thema Volumen und Oberfäche des Prismas

Gerades und schiefes Prisma

Wenn die parallelen Begrenzungslinien, die die Grundfläche und die Deckfläche miteinander verbinden,

• senkrecht auf der Grundfläche

stehen, hat man ein gerades Prisma.

Wenn die parallelen Begrenzungslinien aber

• nicht senkrecht auf der Grundfläche

stehen, ergibt sich ein schiefes Prisma.