Satz des Pythagoras
- Warum gilt der Satz des Pythagoras nur im rechtwinkligen Dreieck?
- Wie prüfen Handwerker mit einer Schnur, ob eine Ecke rechtwinklig ist?
- Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Quaders?
Themen in diesem Bereich
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her:
Die Summe der quadrierten Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).
Detaillierte Einführung
In diesem Video wird der Satz des Pythagoras sehr ausführlich erklärt.
Beispiel
Gegeben sind die beiden Katheten \(a=4\) und \(b=3\) eines rechtwinkligen Dreiecks.
Berechne die Hypotenuse \(c\).
(Bemerkung: Die Lösung \(c = -5\) scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann.)
Video mit Beispielrechnungen
Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit
Für jede positive Zahl \(a\) beschreibt \(a^2\) die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge \(a\). Genauso kann man sich \(b^2\) und \(c^2\) als Fläche von Quadraten vorstellen.
Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Anschaulich kann man dies an folgenden Applet erkennen.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen über den Katheten gleich groß wie die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.
Anwendungen
Rechtwinklige Dreiecke kommen sehr häufig vor. Damit hat der Satz des Pythagoras sehr viele Anwendungen.
Beispiele aus der Praxis
- Berechnung von Streckenlängen in Gebäuden
- Berechnungen an weiteren Figuren und Körpern
- usw.
Als Hilfsmittel im Koordinatensystem
- Berechnung des Abstandes zweier Punkte
Mathematische Spielereien
- Wurzelschnecke (zum exakten Zeichnen von Strecken der Längen \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, …\))
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Satz des Pythagoras und Satz des Thales
- Im rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden kurzen Seiten Katheten (\(a\), \(b\)), die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse (\(c\)).
- Satz des Pythagoras: \(a^2+b^2 = c^2\). In Worten: Die Quadrate über den Katheten haben zusammen denselben Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Genau so lässt er sich durch Zerlegen und Ergänzen beweisen.
- Umstellen: \(c = \sqrt{a^2+b^2}\), \(a = \sqrt{c^2-b^2}\). Immer zuerst klären, welche Seite die Hypotenuse ist – dort steckt der häufigste Fehler.
- Die Umkehrung gilt ebenfalls: Wenn \(a^2+b^2 = c^2\), dann ist das Dreieck rechtwinklig. Darauf beruht die Zwölf-Knoten-Schnur der Handwerker (3-4-5-Dreieck).
- Im Körper wird zweimal angewandt: Erst die Flächendiagonale \(d = \sqrt{a^2+b^2}\), dann die Raumdiagonale \(D = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
- Satz des Thales: Liegt der Punkt \(C\) auf einem Halbkreis über der Strecke \(AB\), so ist der Winkel bei \(C\) immer ein rechter. Damit lassen sich Tangenten konstruieren und rechte Winkel nachweisen.
Aufgaben
- Berechne \(c\), wenn \(a = 6\,\mathrm{cm}\) und \(b = 8\,\mathrm{cm}\).
Lösung
\(c = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\,\mathrm{cm}\). - Eine Leiter ist 5 m lang und steht 1,4 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
Lösung
\(h = \sqrt{5^2-1{,}4^2} = \sqrt{25-1{,}96} \approx 4{,}80\,\mathrm{m}\). - Ist ein Dreieck mit den Seiten 9 cm, 12 cm und 15 cm rechtwinklig?
Lösung
\(81+144 = 225 = 15^2\) – ja. - Ein Karton ist \(30\,\mathrm{cm} \times 40\,\mathrm{cm} \times 120\,\mathrm{cm}\). Passt ein 130 cm langer Stab hinein?
Lösung
\(D = \sqrt{900+1600+14\,400} = \sqrt{16\,900} = 130\,\mathrm{cm}\) – genau, er passt diagonal.
Weiterführende Aufgaben
- Baue eine Zwölf-Knoten-Schnur und prüfe damit die Ecken im Klassenraum. Wo stimmt der rechte Winkel nicht?
- Suche einen Beweis des Satzes, der ohne Formeln auskommt (Zerlegungsbeweis), und erkläre ihn mit ausgeschnittenen Papierstücken.