Vektoren

Vektoren

• Ein Vektor hat Betrag und Richtung. Er beschreibt eine Verschiebung, nicht einen Ort: \(\vec{AB}\) führt von \(A\) nach \(B\).
• Im Koordinatensystem wird er als Spalte geschrieben; der Vektor von \(A(1|2|3)\) nach \(B(4|6|3)\) hat die Koordinaten \((3;4;0)\) – Endpunkt minus Anfangspunkt.
• Rechnen: Vektoren werden komponentenweise addiert und mit einer Zahl multipliziert. Der Betrag \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) folgt aus dem Satz des Pythagoras im Raum.
• Eine Gerade beschreibt man durch einen Punkt und eine Richtung: \(\vec{x} = \vec{p} + t\cdot\vec{u}\). Der Parameter \(t\) sagt, wie weit man in Richtung \(\vec{u}\) geht.
• Das Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) ergibt eine Zahl. Es ist genau dann null, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen – daraus folgt auch die Winkelformel \(\cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\).

1. Gegeben \(A(2|1|0)\) und \(B(5|5|0)\). Bestimme \(\vec{AB}\) und seinen Betrag.
   Lösung

   \(\vec{AB} = (3;4;0)\); \(|\vec{AB}| = \sqrt{9+16} = 5\).
2. Stehen \(\vec{a} = (2;-1;3)\) und \(\vec{b} = (3;6;0)\) senkrecht aufeinander?
   Lösung

   \(6-6+0 = 0\) – ja.
3. Liegt der Punkt \(P(7|9|0)\) auf der Geraden \(\vec{x} = (1;1;0)+t(2;4;0)\)?
   Lösung

   \(1+2t = 7\) → \(t = 3\); dann \(1+4\cdot 3 = 13 \ne 9\) – nein.

1. Beschreibe die Flugbahn einer Drohne durch eine Geradengleichung und bestimme, wo sie den Boden (\(z=0\)) erreicht.
2. Zeige, dass die Diagonalen einer Raute senkrecht aufeinander stehen – mit dem Skalarprodukt statt mit einer Zeichnung.