Strahlensätze & Ähnlichkeit – Mathematik

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Ähnliche Figuren Der erste Strahlensatz Der zweite Strahlensatz Unzugängliche Längen bestimmen

Strahlensatz (Vierstreckensatz)

Die Strahlensätze sind direkte Folgerungen aus der zentrischen Streckung.

Grundsätzlich lassen sich die Strahlensätze bei zwei Arten von Figuren anwenden, bei sogenannten "V−Figuren" und "X−Figuren".

Die Strahlensätze

Voraussetzung

Um die Strahlensätze anzuwenden, müssen alle drei Voraussetzungen erfüllt sein:

Aussage

Wenn die oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind, dann gelten folgende Aussagen:

V-Figur

\(\text{1.Strahlensatz\hspace{40mm}2.\ Strahlensatz} \)

\(\dfrac{|\overline{ZA'}|}{|\overline{ZA}|} =\dfrac{|\overline{ZB'}|}{|\overline{ZB}|} \hspace{0.2cm} \text{und}\hspace{0.2cm} \dfrac{|\overline{AA'}|}{|\overline{ZA}|}=\dfrac{|\overline{BB'}|}{|\overline{ZB}|} \hspace{1.6cm} \dfrac{|\overline{ZA'}|}{|\overline{ZA}|}=\dfrac{|\overline{ZB'}|}{|\overline{ZB}|}=\dfrac{|\overline{A'B'}|}{|\overline{AB}|} \)

X-Figur

\(\text{1.Strahlensatz\hspace{40mm}2.\ Strahlensatz} \)

\(\dfrac{|\overline{ZA'}|}{|\overline{ZA}|} =\dfrac{|\overline{ZB'}|}{|\overline{ZB}|} \hspace{0.2cm} \text{und}\hspace{0.2cm} \dfrac{|\overline{AA'}|}{|\overline{ZA}|}=\dfrac{|\overline{BB'}|}{|\overline{ZB}|} \hspace{1.6cm} \dfrac{|\overline{ZA'}|}{|\overline{ZA}|}=\dfrac{|\overline{ZB'}|}{|\overline{ZB}|}=\dfrac{|\overline{A'B'}|}{|\overline{AB}|} \)

Umkehrung der Strahlensätze

Umkehrung des 1. Strahlensatzes: Gelten die oben beschriebenen Streckenverhältnisse des 1. Strahlensatzes, dann sind die beiden Geraden \(g \) und \(h\) parallel.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nur für den 1. Strahlensatz und nicht für den 2. Strahlensatz der "V−Figuren" und "X−Figuren".

Wenn die oben beschriebenen Streckenverhältnisse des 2. Strahlensatzes gelten, dann müssen die beiden Geraden \(g\) und \(h\) nicht unbedingt parallel sein.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Strahlensätze und Ähnlichkeit

Ähnlich heißt: gleiche Form, andere Größe. Alle Winkel stimmen überein, alle Seitenverhältnisse sind gleich. Kongruent wäre gleich groß – Ähnlichkeit ist die schwächere und deshalb häufigere Beziehung.
Der Streckfaktor \(k\) sagt, um wie viel vergrößert wurde. Längen wachsen mit \(k\), Flächen mit \(k^2\) und Volumina mit \(k^3\) – ein doppelt so großes Modell hat die vierfache Oberfläche und das achtfache Volumen.
Die Strahlensätze entstehen, wenn zwei Strahlen von einem Punkt ausgehen und von zwei parallelen Geraden geschnitten werden. Ohne Parallelität gelten sie nicht – das ist die häufigste Fehlerquelle.
Erster Strahlensatz: Die Abschnitte auf den Strahlen verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl. Zweiter Strahlensatz: Die Parallelen verhalten sich wie die Abschnitte vom Scheitelpunkt aus.
Wozu das gut ist: Baumhöhe über den Schatten, Flussbreite ohne Überquerung, Entfernung eines Turms – überall dort, wo direktes Messen unmöglich ist.
Und es ist die Grundlage der Trigonometrie: Sinus, Kosinus und Tangens sind Seitenverhältnisse – sie funktionieren nur, weil alle Dreiecke mit gleichen Winkeln ähnlich sind.

Aufgaben

Ein Modell ist im Maßstab 1:2 gebaut. Wie verhalten sich Fläche und Volumen?
Lösung
Fläche 1:4, Volumen 1:8.
Welche Voraussetzung brauchen die Strahlensätze?
Lösung
Die schneidenden Geraden müssen parallel sein.
Was unterscheidet ähnlich von kongruent?
Lösung
Kongruente Figuren sind zusätzlich gleich groß.

Weiterführende Aufgaben

Bestimmt die Höhe eines Baumes oder der Schule mit dem Schattenverfahren und prüft das Ergebnis mit einer zweiten Methode.