Trigonometrie
- Wie misst man die Höhe eines Baumes, ohne hinaufzuklettern?
- Warum hängen Sinus und Kosinus nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks?
- Was hat der Einheitskreis mit einer Schwingung zu tun?
Themen in diesem Bereich
Zum Ausprobieren: Trigonometrie Tour
Wandern Sie über den Einheitskreis und verfolgen Sie Sinus und Kosinus im Graphen.
Simulation wird geladen…
Rund 3 MB – im Mobilfunknetz kann das einen Moment dauern.
Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Trigonometrie am Einheitskreis
Trägt man an der \(x\)-Achse einen Winkel \(\alpha\) an, kann man mithilfe des Einheitskreises die Werte des Sinus und Kosinus von \(\alpha\) ablesen.
Betrachtet man das rechtwinklige Dreieck mit Winkel \(\mathrm\alpha\) im Einheitskreis, so hat die Hypotenuse die Länge \(1\):
\(\color{#FD6600}{\cos\left(\alpha\right)}=\color{#FD6600}{\text{Ankathete}}\)
\(\color{#CC0000}{\sin\left(\alpha\right)}=\color{#CC0000}{\text{Gegenkathete}}\)
Vorzeichen
Die trigonometrischen Funktionen können beim Übergang von einem Quadranten in den nächsten ihr Vorzeichen wechseln. Der Wechsel ist in folgenden Graphen veranschaulicht.
Wichtige Werte
In der unteren Tabelle sind einige wichtige Werte für die trigonometrischen Funktionen aufgeführt. Für die ersten fünf Werte des Sinus und Kosinus gibt es eine leichte Möglichkeit, sich die Werte zu merken. Sie haben die allgemeine Form \(\frac{1}{2}\sqrt{\color{green}n}\), wobei man für den Sinus in aufsteigender Reihenfolge die Zahlen \(0\) bis \(4\) einsetzt und für den Kosinus in absteigender Reihenfolge.
\(*:\) An diesen Stellen existiert der Tangens nicht, da der Tangens als "Sinus durch Kosinus" definiert ist und an diesen Stellen der Kosinus gleich null ist.
Veranschaulichung am Applet
Video zum Thema Tangens am Einheitskreis
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Trigonometrie
- Im rechtwinkligen Dreieck gilt für einen Winkel \(\alpha\): \(\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\), \(\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\).
- Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab: Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel sind ähnlich, und bei ähnlichen Figuren bleiben die Seitenverhältnisse gleich.
- Damit lassen sich unzugängliche Längen bestimmen: Höhe eines Baumes, Breite eines Flusses, Neigung einer Rampe. Man misst einen Winkel und eine Strecke – der Rest ist Rechnung.
- Mit \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\) rechnet man vom Verhältnis zurück auf den Winkel.
- In beliebigen Dreiecken helfen der Sinussatz \(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}\) und der Kosinussatz \(c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma\) – Letzterer enthält den Satz des Pythagoras als Sonderfall für \(\gamma = 90^\circ\).
- Am Einheitskreis wird der Sinus zur Funktion: Der Punkt läuft um den Kreis, seine Höhe über der x-Achse ergibt eine Wellenlinie. Damit beschreibt man periodische Vorgänge – Gezeiten, Tageslänge, Wechselstrom.
Aufgaben
- In einem rechtwinkligen Dreieck ist \(\alpha = 35^\circ\) und die Hypotenuse \(c = 12\,\mathrm{cm}\). Berechne die Gegenkathete.
Lösung
\(a = 12\cdot\sin 35^\circ \approx 6{,}88\,\mathrm{cm}\). - Du stehst 25 m von einem Baum entfernt und siehst seine Spitze unter \(32^\circ\) (Augenhöhe 1,6 m). Wie hoch ist der Baum?
Lösung
\(h = 25\cdot\tan 32^\circ + 1{,}6 \approx 15{,}6+1{,}6 = 17{,}2\,\mathrm{m}\). - Eine Rampe ist 4 m lang und überwindet 60 cm Höhe. Wie steil ist sie?
Lösung
\(\sin\alpha = \frac{0{,}6}{4} = 0{,}15\) → \(\alpha \approx 8{,}6^\circ\).
Weiterführende Aufgaben
- Baue aus Strohhalm, Winkelmesser und Schnur einen einfachen Winkelmesser und bestimme damit die Höhe des Schulgebäudes.
- Zeichne die Sinusfunktion für \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) und suche einen Vorgang aus der Natur, der genauso verläuft.