Logarithmusfunktion

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung der Form

$$f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x),$$

wobei \(b\in\mathbb{R}^+\) und \(b\neq 1\) gilt.

\(b\) heißt Basis des Logarithmus.

Der Logarithmus bezeichnet die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, sodass sich die Funktionen

$$ f(x)=b^x,~g(x)=\log_b(x)$$

gegenseitig aufheben.

Eigenschaften

• Der Definitionsbereich ist \(\mathbb{R}^+\), d.h. für \(x\) dürfen nur positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.
• Der Wertebereich ist ganz \(\mathbb{R}\).
• Alle Logarithmusfunktionen haben die Nullstelle \(x_0=1\).
• Logarithmusfunktionen haben die \(y\)-Achse als senkrechte Asymptote, genauer gilt:
  • \(b>1:\qquad\lim\limits_{x\to0}\log_b(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}\log_b(x)=\infty\)
  • \(0
• Logarithmusfunktionen sind stets monoton, genauer gilt:
  • \(b>1:\qquad f\;\) ist streng monoton steigend.
  • \(0

Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:

Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Abhängigkeit von der Basis \(b\) zu beobachten.

Rechenregeln

Folgende Umformungen sind praktisch, um mit Logarithmen zu rechnen.

• \(\log_b(x\cdot y)=\log_b(x)+\log_b(y)\)
• \(\log_b\left(\frac{x}y\right)=\log_b(x)-\log_b(y)\)
• \(\log_b\left(x^a\right)=a\cdot\log_b(x)\)

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion. Für \(f(x)=\log_b(x)\) ist die Umkehrfunktion gegeben durch:

$$f^{-1}(x)=b^x$$

Durch diese Umkehrfunktion wird auch deutlich, warum sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schließlich gibt es für ein b>0 kein x, dass

$$f^{-1}(x)=b^x$$

negativ werden lässt.

Basiswechsel

Jede Logarithmusfunktion \(log_b(x)\) zu einer beliebigen Basis \(b\) (mit \(b\in\mathbb{R}^+\), \(b\neq 1\)) kann in eine Logarithmusfunktion mit einer anderen Basis \(a\) (mit \(a\in\mathbb{R}^+\), \(a\ne1\)) umgewandelt werden und andersrum. Die Formel lautet:

$$\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$$

Natürliche Logarithmusfunktion

Als Sonderfall eines Basiswechsels kann jede Logarithmusfunktion auf eine natürliche Logarithmusfunktion (auch: \(\ln\)-Funktion), d.h. eine Logarithmusfunktion mit Basis \(e\), der Eulerschen Zahl, zurückgeführt werden:

$$f(x)=\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}=\frac1{\ln(b)}\cdot \ln(x)$$

Diese Beziehung ist unter anderem wichtig zur Berechnung der Ableitung und Stammfunktion. Außerdem erkennt man hier, dass jede beliebige Logarithmusfunktion nur ein Vielfaches der \(\ln\)-Funktion ist.

Erste Ableitung

Die erste Ableitung von \(f(x)=\log_b(x)\) ist gegeben durch:

$$f'(x)=\frac1{\ln(b)\cdot x}$$

Integral

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion \(F(x)\) einer Logarithmusfunktion \(f(x)=\log_b(x)\) ist:

$$F(x)=\frac1{\ln(b)}\cdot\left(x\ln(x)-x\right)$$