Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Funktionen Klasse 10

Wie berechnet man, wann sich ein Bestand verdoppelt hat?
Warum ist die Halbwertszeit unabhängig von der Ausgangsmenge?

Wachstums- und Zerfallprozesse mit e-Funktion

Exponentielles Wachstum wird in der Praxis häufig mit der $e$-Funktion modelliert, da man damit leichter rechnen kann (v.a. Ableitung und Integral).

Aus der Beziehung $a^x=e^{\ln(a)\cdot x}$ und der Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot a^t$ folgt für die Darstellung exponentiellen Wachstums zur Basis $e$:

$$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$

Darstellung

$$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$

Dabei sind:

$N(t)$: die Anzahl oder Größe eines Wertes nach der Zeit $t$,
$N_0$: die Anzahl oder Größe des Wertes nach der Zeit $0$, also der Startwert,
$\lambda=\ln(a)$: die Wachstums- oder Zerfallskonstante,
$e$: die Eulersche Zahl.

Für $\lambda$ gilt:

Wachstumsprozesse: $a>1$ $\Rightarrow$ $\lambda>0$
Zerfallsprozesse: $a<1 \Rightarrow \lambda <0$

Konvention

Oft wird die Wachstums- und die Zerfallskonstante $\lambda$ immer positiv gewählt. Also hat man auch bei Zerfallsprozessen eine positive Zerfallskonstante; die Formel muss dann natürlich um ein Minuszeichen ergänzt werden: $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$.

Diese Konvention hat vor allem Vorteile bei der Berechnung der Halbwerts- und Verdopplungszeit.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung