Wurzelfunktion
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen in der Form, dass die Variable unter einer Wurzel steht. Sie bilden damit die Umkehrfunktionen zu Potenzfunktionen der Form \(f(x)=x^n\) mit \(n\in\mathbb{N}\).
Ihre einfachste Form ist:
\({f\left(x\right)=\;\sqrt[n]x=x^\frac1n\;\;\mathrm{mit}\;\;n\in ℕ,\;\;\;x\in\mathbb{R}_0^+\;}\)
Die bekanntesten Wurzelfunktionen sind die "zweite" und die "dritte" Wurzel.
\(f\left(x\right)=\sqrt[2]x=\sqrt x\;\;\;\;\;\mathrm{und}\;\;\;\;\;g\left(x\right)=\sqrt[3]x\)
(Bei der zweiten Wurzel wird meist die kleine 2 weggelassen.)
Graphen der ersten Wurzelfunktionen
Grenzwerte und Monotonie
Grenzwerte
Auch wenn die Wurzelfunktionen vergleichsweise "klein" sind - sie also weniger stark wachsen als alle Geraden und Potenzfunktionen - ist ihr Grenzwert im Unendlichen stets unendlich. Beachte dabei, dass hier \(x\) gegen unendlich geht, und nicht \(n\).
$$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{x}=\infty$$Am linken Rand des Definitionsbereichs gehen die Wurzelfunktionen gegen \(0\):
$$\lim_{x\rightarrow0}\sqrt[n]{x}=0$$Monotonie
Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend.
Ableitungen
Die Ableitungen der Wurzelfunktion lassen sich mit den Ableitungsregeln für Polynome berechnen.
1. Ableitung
Allgemein:
Beispiel für \(n=2\):
2. Ableitung
Die zweite Ableitung berechnet sich durch das Ableiten der 1. Ableitung. Für \(n=2\) wäre das:
Stammfunktion
Die Stammfunktion der Wurzelfunktion \(f\left(x\right)=\sqrt[n]x=x^\frac1n\) lautet
$$F\left(x\right)=\frac n{n+1}x^\frac{n+1}n$$Beispiel für \(n=2\):
$$\mathrm F\left(\mathrm x\right)=\frac23\mathrm x^\frac32=\frac23\sqrt{\mathrm x^3}$$