e-Funktion

Die Exponentialfunktion mit der Basis \(e\), der Eulerschen Zahl, wird natürliche Exponentialfunktion oder auch \(e\)-Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+, x\mapsto e^x$$

Besonderheit

• Die Exponentialfunktion erfüllt in allen Punkten die Eigenschaft \(f(a+ b)= f(a)\cdot f(b)\) (dies wird auch als definierende Eigenschaft der e-Funktion bezeichnet)

• Die Vielfachen der e-Funktion sind die einzigen Funktionen mit der Eigenschaft: \(f'(x)=f(x)\)

Eigenschaften

Die \(e\)-Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Exponentialfunktionen zu beliebigen positiven Basen. Weil \(e\approx 2,718>1\), ist sie streng monoton steigend.

Graph der \(e\)-Funktion:

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der \(e\)-Funktion ist der natürliche Logarithmus. Für \(f(x)=e^x\) gilt also:

\(f^{-1}(x)=\ln(x)\qquad\Rightarrow e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x)\)

Ableitung und Stammfunktion

Wie bereits erwähnt gilt:

\(f'(x)=f(x)=e^x\)

Folglich ist die Stammfunktion \(F(x)=e^x\), denn \(F'(x)=e^x=f(x)\).