Die Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

• Die Form: \(f(x) = a \cdot b^{x}\) mit \(a \ne 0\), \(b > 0\) und \(b \ne 1\). Die Variable steht im Exponenten – das unterscheidet sie von der Potenzfunktion \(x^{n}\).
• Der Graph geht immer durch \((0 \mid a)\), denn \(b^0 = 1\). Für \(b > 1\) steigt er, für \(0 < b < 1\) fällt er – und in beiden Fällen nähert er sich der x-Achse als Asymptote.
• Er wird nie negativ (bei \(a > 0\)) und hat keine Nullstelle. Das ist ein häufiger Prüfungspunkt.
• Die Zahl \(e \approx 2{,}718\) ist die natürliche Basis. Ihre Besonderheit: Die Funktion \(f(x) = e^{x}\) ist ihre eigene Ableitung – sie wächst genau so schnell, wie sie groß ist. Deshalb ist sie die Standardform in Physik, Biologie und Wirtschaft.
• Die Umkehrung ist der Logarithmus. Wer nach dem Exponenten fragt („wann ist der Bestand doppelt so groß?“), braucht ihn – daher hängen beide Themen zusammen.

1. Durch welchen Punkt geht der Graph immer?
   Lösung

   Durch \((0 \mid a)\), weil \(b^0 = 1\).
2. Hat \(f(x) = 3 \cdot 2^{x}\) eine Nullstelle?
   Lösung

   Nein – der Graph nähert sich der x-Achse nur an.
3. Was ist an \(e^{x}\) besonders?
   Lösung

   Sie ist ihre eigene Ableitung.

1. Zeichnet \(2^x\), \(0{,}5^x\) und \(e^x\) in ein Koordinatensystem. Was haben alle drei gemeinsam?