Das Integral

Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmtes und unbestimmtes Integral. Ein bestimmtes Integral liefert einen Zahlenwert, während ein unbestimmtes Integral eine Funktion liefert. Die Integralrechnung steht in engem Zusammenhang mit der Differentialrechnung.

Die Integralrechnung ist motiviert durch die Berechnung von Flächeninhalten, die eine krummlinige Grenze haben.

Das bestimmte Integral berechnet nämlich die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der \(x\)-Achse.

\(\int_{-2}^{2}-x^2+4\ dx\)

Notation und Bezeichnungen

\(\int_a^b f\left( x\right)\,\mathrm{d} x \)

\(\rightarrow\) "das Integral über \(f(x)\) im Intervall \(\left[a,b\right]\) "

• Das mathematische Zeichen für das Integral ist \(\int\).

• \(\mathrm dx\) gibt die Variable an, über die integriert wird.

• Man kann sich \(\int\) und \(\mathrm dx\) als eine Klammer vorstellen. Ein Integral beginnt immer mit \(\int\) und wird mit \(\mathrm dx\) abgeschlossen.

• Die Variable \(x\) ist hier austauschbar. Steht am Ende des Integrals \(\mathrm d t\), so wird über die Variable \(t\) integriert.

• Beispiel: Bei \(\int_a^b f(t) \mathrm{d} t\) wird über \(t\) integriert.

• \(a\) und \(b\) heißen Integrationsgrenzen.

Anschauliche Erklärung

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist \(f(x)\;=\;x\;\) mit Definitionsbereich \(\mathbb{D}=\mathbb{R}^+\).

Es soll die Fläche im Intervall \(0\) bis \(3,5\) bestimmt werden, die der Funktionsgraph mit der \(x\)-Achse einschließt, diese Fläche wird mit \(a\) bezeichnet und ist in der Grafik rot eingefärbt.

Mithilfe der Formel für die Flächenberechnung eines Dreiecks erhält man \(a=\frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 3,5=6,125\).

Es wäre also wünschenswert, dass der Integralbegriff \(\int_0^{3.5}x\;\mathrm{d} x = 6,125\) erfüllt. Man wird später sehen, dass dies gilt.

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist \(f(x)\;=\;-\frac12 x\;\) mit Definitionsbereich \(D=\mathbb{R}\) .

Es soll die Fläche im Intervall von 2 bis 6 bestimmt werden, die der Funktionsgraph mit der \(x\)-Achse einschließt. Diese Fläche wird mit \(a\) bezeichnet und ist in der Grafik rot eingefärbt.

Mithilfe der Formel für die Flächenberechnung eines Trapezes erhält man \(a=\frac{1}{2} \cdot (1+3) \cdot (6-2)=8\).

Da die Fläche \(A\) aber unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, soll das Integral einen negativen Wert liefern.

Es wäre also wünschenswert, dass der Integralbegriff \(|\int_2^6 - \frac{1}{2} x\;\mathrm{d} x| = |-8|=8=a\) erfüllt. Man wird später sehen, dass dies gilt.

Falls \(f\) nicht nur positive Werte hat, soll das Integral die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse sein. Flächen oberhalb der \(x\)-Achse werden dabei positiv gewertet, Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ.

Die schwarz eingezeichnete Funktion ist \(f(x)=\sin\left(x\right)\). Es soll über die Funktion von \(0\) bis \(3\pi\) integriert werden.

Das Integral von \(f\) ist dann die Summe der gefärbten Flächeninhalte, wobei die Blauen ein positives und die Roten ein negatives Vorzeichen haben. Das Integral von \(0\) bis \(3\pi\) wäre also z.B.

\(\int_0^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x\\=\int_0^{\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x+\int_{\pi}^{2\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x+\int_{2\pi}^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x\\=2-2+2\\=2\)

Herleitung 

Gegeben sei eine stetige Abbildung \(f\), die auf dem Intervall \([a,b]\) definiert ist. Man möchte die Fläche zwischen \(f\) und der \(x\)-Koordinate auf dem Intervall \([a,b]\) bestimmen. Man erhält eine grobe Näherung der Fläche, wenn man das betrachtete Intervall in mehrere Teilintervalle zerlegt. In jedem dieser Teilintervalle lässt sich die Funktion durch ein Rechteck annähern.

Bei der Obersumme bzw. Untersumme wählt man den größten bzw. den kleinsten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des Rechtecks.

Das Integral lässt sich als Grenzwert von Ober- bzw. Untersummen auffassen.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung   

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) oder auch Fundamentalsatz der Analysis stellt einen Zusammenhang zwischen Ableitung und Integration dar.

Integral berechnen     

Um den Wert eines Integrals zu berechnen, bildet man eine Stammfunktion und wertet diese an den Stellen \(a\) und \(b\), des betrachteten Intervalls \(\left[\mathrm a,\mathrm b\right]\) aus. Der gesuchte Wert ist dann \(F(b)-F(a)\).

Beispiele

• \(\int_0^{3,5}x \mathrm{d}x=[\frac{1}{2}x^2]_0^{3,5}=\frac{1}{2} \cdot 3,5^2 - 0 = 6,125.\)

• \(\int_2^6 - \frac{1}{2}x \mathrm{d}x=[-\frac{1}{4}x^2]_2^6=-\frac{1}{4} \cdot 6^2 - (- \frac{1}{4} \cdot 2^2)=-9+1=-8.\)

• \(\int_0^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x\\=\int_0^\pi\sin\left(x\right)\mathrm dx+\int_\pi^{2\pi}\sin\left(x\right)\mathrm dx+\int_{2\pi}^{3\pi}\sin\left(x\right)\mathrm dx\\=[-\cos(x)]_0^{\pi}+[-\cos(x)]_{\pi}^{2\pi}+[-\cos(x)]_{2\pi}^{3\pi}\\=2-2+2=2\)

Diese Rechnungen sind also mit den Beispielen aus dem Abschnitt "Anschauliche Erklärung" konsistent (wobei beim dritten Beispiel die Additivitätseigenschaft benutzt wurde, siehe unten).

Rechenregeln

Von Flächen und Funktionen weißt du vielleicht schon, dass du sie addieren und subtrahieren kannst. Hier sind ein paar wichtige Rechenregeln von Integralen aufgelistet.

Obere Grenze = Untere Grenze

Du integrierst über einem Punkt, also ist die Fläche nur eine Linie. Linien haben Breite \(0\) und eine Länge \(l\). Der Flächeninhalt ergibt sich aus \(0\cdot l=0\), also ist auch das Integral gleich \(0\).

Beispiel:

\(\int_ 2^2 x\;\mathrm{d}x\;=\left[\frac12x^2\right]_2^2=\frac12\cdot2^2-\frac12\cdot2^2=0\)

Umkehren der Grenzen

Beispiel:

\(\int_ 2^31\;\mathrm{d}x=\left[x\right]^3_ 2=3-2=1\)

und \(-\int_ 3^21\;\mathrm{d}x=-\left[x\right]^2_3=-\left(2-3\right)=1\)

Additivitätseigenschaft

Herleitung:

\(A_1=\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\)

\(A_2=\int_b^cf(x)\;\mathrm{d}x\;\)

\(A_{ges}=\int_a^cf(x)\;\mathrm{d}x\)

\(A_{ges}=A_1+A_2\)

Also: \(\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\;+\int_b^cf(x)\;\mathrm{d}x\;=\int_a^cf(x)\;\mathrm{d}x\)

Beispiel:

\(\int_ 1^2x^2\;\mathrm{d}x+\int_ 2^4x^2\;\mathrm{d}x\\=\left[\frac13x^3\right]_ 1^2+\left[\frac13x^3\right]_2^4\\=\left[\frac83-\frac13\right]+\left[\frac{64}3-\frac83\right]\\=\frac{63}3\\=21\)

\(\int_ 1^4x^2\;\mathrm{d}x\\=\left[\frac13x^3\right]_1^4\\=\frac{64}3-\frac13\\=\frac{63}3\\=21\)

Erste Linearitätseigenschaft

Beispiel:

\(\int_ 1^23x\;\mathrm{d}x=\left[\frac32x^2\right]_ 1^2=\frac32\cdot4-\frac32\cdot1=\frac92\)

\(3\int_ 1^2x\;\mathrm{d}x=3\cdot\left[\frac12x^2\right]_1^2=3\cdot\left[\frac42-\frac12\right]=3\cdot\frac32=\frac92\)

Zweite Linearitätseigenschaft

Beispiel:

\(\int_ 1^3\left(x-1\right)\;\mathrm{d}x=\left[\frac12\left(x-1\right)^2\right]_ 1^3=\frac12\cdot4-\frac12\cdot0=2\)

\(\int_ 1^3x\;\mathrm{d}x-\int_ 1^31\;\mathrm{d}x=\left[\frac12x^2\right]_ 1^3-\left[x\right]_1^3=\left[\frac92-\frac12\right]-\left[3-1\right]=4-2=2\)

Monotonieeigenschaft

Beispiel:

Für alle  \(x\in\left[0;1\right]\) gilt:\(\;x^2\leq x\) \(\Rightarrow\)

$$\int_ 0^1x^2\;\mathrm{d}x\;=\left[\frac13x^3\right]_0^1=\frac13-0=\frac13$$

$$\int_ 0^1x\;\mathrm{d}x=\left[\frac12x^2\right]_0^1=\frac12-0=\frac12$$

Also: 

$$\int_ 0^1x^2\;\mathrm{d}x\;\leq\int_0^1x\;\mathrm{d}x$$

Punktsymmetrische Funktionen

Beispiel:

\(f\left(x\right)=x\) ist eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion. Da \(f(-x)=-x=-f(x)\)

$$\int_ {-3}^3f\left(x\right)\;\mathrm dx=\left[\frac12x^2\right]_{-3}^3=\frac92-\frac92=0$$

Achsensymmetrische Funktionen

Beispiel:

\(f\left(x\right)=x^2\) ist eine zur \(y\)-Achse achsensymmetrische Funktion.

\(\int_{-1}^1x^2\mathrm dx\\=\left[\frac13x^3\right]_ {-1}^1\\=\left[\frac131^3-\frac13({-1})^3\right]\\=\left[\frac131^3+\frac131^3\right]\\=2\left[\frac13x^3\right]_ 0^1\\=2\cdot\int_0^1 x^2\mathrm dx\)

Betrag eines Integrals

Beispiel:

Gegeben ist \(f(x) = \sin(x)\).

Wegen der Punktsymmetrie von \(\sin(x)\) gilt:

$$\left|\int_ {-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\right|=\left|\int_{-\pi}^\pi\sin(x)\mathrm dx\right|\;=\left|0\right|\;=0$$

und aufgrund der Additivität folgt:

$$\int_ {-\pi}^\pi\left|\sin(x)\right|\mathrm dx=\int_ {-\pi}^0\left|\sin(x)\right|\mathrm dx+\int_0^\pi\left|\sin(x)\right|\mathrm dx$$

mit Auflösen des Betrags folgt:

\(\int_ {-\pi}^0-\sin(x)\mathrm dx+\int_ 0^\pi\sin(x)\mathrm dx\\=\int_ {-\pi}^0\left|\sin(x)\right|\;\mathrm dx\;+\int_ 0^\pi\left|\sin(x)\right|\;\mathrm dx\)

\(=\int_ 0^\pi\sin(x)\;\;\mathrm dx\;+\int_ 0^\pi\sin(x)\;\mathrm dx\\=2\int_0^\pi \sin(x)\;\mathrm dx\).

Bilde die Stammfunktion:

\(2\int_0^\pi \sin(x)\;\mathrm dx\;\\=\;2[-\cos(\pi)+\cos(0)]\;\\=\;2(1+1)\\=\;4\)

Also ist \(\left|\int_ {-\pi}^\pi \sin(x)\mathrm dx\right|=0\leq\;4=\int_{-\pi}^{\pi}\left| \sin(x)\right|\;\mathrm dx\) erfüllt.

Wichtige Begriffe

Bestimmtes und unbestimmtes Integral  

Das unbestimmte Integral besitzt im Vergleich zum bestimmten Integral keine Grenzen.   

Bei einem bestimmten Integral berechnet man den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der \(x\)-Achse. Als Lösung bekommt man eine Zahl.

Bei einem unbestimmten Integral erhält man als Lösung eine Funktion, eine sogenannte Stammfunktion.

Integralfunktion

Integralfunktionen sind Funktionen der Form \(F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt\).

Uneigentliche Integrale   

Das uneigentliche Integral ist definiert durch:

\(\int_a^\infty f(x)\mathrm dx:=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_a^b f(x)\mathrm dx\) und

\(\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm dx:=\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx\)