Der Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her:

Die Summe der quadrierten Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).

Detaillierte Einführung

In diesem Video wird der Satz des Pythagoras sehr ausführlich erklärt.

Beispiel

Gegeben sind die beiden Katheten \(a=4\) und \(b=3\) eines rechtwinkligen Dreiecks.

Berechne die Hypotenuse \(c\).

(Bemerkung: Die Lösung \(c = -5\) scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann.)

Video mit Beispielrechnungen

Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit

Für jede positive Zahl \(a\) beschreibt \(a^2\) die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge \(a\). Genauso kann man sich \(b^2\) und \(c^2\) als Fläche von Quadraten vorstellen.

Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an. Anschaulich kann man dies an folgenden Applet erkennen.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen über den Katheten gleich groß wie die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.

Anwendungen

Rechtwinklige Dreiecke kommen sehr häufig vor. Damit hat der Satz des Pythagoras sehr viele Anwendungen.

Beispiele aus der Praxis

Berechnung von Streckenlängen in Gebäuden
Berechnungen an weiteren Figuren und Körpern
usw.

Als Hilfsmittel im Koordinatensystem

Berechnung des Abstandes zweier Punkte

Mathematische Spielereien

Wurzelschnecke (zum exakten Zeichnen von Strecken der Längen \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, …\))

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Er gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten (\(a\), \(b\)); die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse (\(c\)) und immer die längste.
Der Satz: \(a^2+b^2 = c^2\).
In Worten: Die Flächen der Quadrate über den beiden Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. Der Satz ist also eine Aussage über Flächen, auch wenn man ihn zum Berechnen von Längen benutzt.
Erster Schritt bei jeder Aufgabe: das rechtwinklige Dreieck finden und die Hypotenuse bestimmen. Wer \(c\) falsch wählt, rechnet den Rest umsonst richtig.
Die Umkehrung gilt auch: Wenn \(a^2+b^2 = c^2\), ist das Dreieck rechtwinklig. So prüft man rechte Winkel, ohne einen Winkelmesser.
Pythagoreische Zahlentripel wie 3-4-5, 5-12-13 und 8-15-17 sind praktisch: Sie ergeben glatte Ergebnisse.

Aufgaben

\(a = 9\,\mathrm{cm}\), \(b = 12\,\mathrm{cm}\). Berechne \(c\).
Lösung
\(c = \sqrt{81+144} = 15\,\mathrm{cm}\).
Ist ein Dreieck mit 6 cm, 8 cm und 11 cm rechtwinklig?
Lösung
\(36+64 = 100 \ne 121\) – nein.
Nenne zwei weitere pythagoreische Tripel neben 3-4-5.
Lösung
Z. B. 6-8-10 und 5-12-13.

Weiterführende Aufgaben

Prüfe mit einer Schnur und drei Knotenabständen (3, 4, 5 Einheiten), ob eine Ecke im Klassenraum rechtwinklig ist.