Satz des Thales
- Was besagt der Satz des Thales?
- Wozu braucht man ihn beim Konstruieren?
Satz des Thales
Der Satz des Thales beschreibt folgenden Zusammenhang:
Zeichne einen Halbkreis und markiere einen Punkt auf dem Kreisbogen. Wenn du diesen Punkt mit den Eckpunkten des Durchmessers verbindest, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel befindet sich gegenüber des Durchmessers des Kreises.
Zudem ist auch die Umkehrung des Satzes richtig.
Vorgehen
Man beginnt mit einer beliebigen Strecke (hier: Strecke \([AB]\)).
Nun konstruiert man einen Thaleskreis (hier mit Mittelpunkt \(M\)).
Nun kann man einen beliebigen Punkt auf dem Kreisbogen markieren (hier Punkt \(C\)).
Nun verbindet man die Punkte \(A,B\) und \(C\) zu einem Dreieck.
Der Winkel \(\sphericalangle ACB\) ist ein rechter Winkel.
Umkehrung des Satzes des Thales
Es gilt auch die Umkehrung des Satzes:
Anwendung
Der Thaleskreis ist hilfreich zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke.
Außerdem kann man mit ihm eine Tangente an einen Kreis konstruieren, die durch einen beliebigen Punkt außerhalb des Kreises verläuft.
Warum gilt der Satz des Thales?
Dass der Satz des Thales immer gilt, zeigt folgender Beweis:
Man zeichnet zuerst ein Dreieck \(\triangle ABC\) mit Hypotenuse als Durchmesser eines Kreises und den dritten Punkt des Dreiecks auf den Kreisbogen des Kreises (hier: Punkt \(C\)).
Zusätzlich trägt man die Seitenhalbierende \(h\) der Hypotenuse ein. Damit entstehen zwei neue Dreiecke:
$$\triangle AMC\text{ und }\triangle MBC.$$
Wenn man die Winkel in den Dreiecken nun noch benennt, erhältst du folgendes Bild:
Nun ist bereits bekannt, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks \(180°\) beträgt.
Also sowohl in dem Dreieck \(\triangle ABC\) als auch in den Dreiecken \(\triangle AMC\) und \(\triangle MBC\).
Daher folgt:
$$\alpha +\beta+(\gamma_1+\gamma_2)=180°$$
Außerdem gilt:
$$\varepsilon +\delta=180°$$
Die Dreiecke \(\triangle AMC\) und \(\triangle MBC\) sind gleichschenklig, da \(p=q=h= \text{Radius des Thaleskreises}\).
Also:
$$\gamma_2=\beta$$$$\alpha=\gamma_1$$
Damit kommt man auf die Rechnung:
Damit ist gezeigt, dass der Winkel \(\gamma=\gamma_1+\gamma_2\) ein rechter Winkel ist, egal wie man den Punkt auf der Kreisbahn wählt.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Der Satz des Thales
- Der Satz: Liegt der Punkt \(C\) auf einem Halbkreis über der Strecke \(AB\), so ist der Winkel bei \(C\) immer ein rechter Winkel – ganz gleich, wo auf dem Halbkreis er liegt.
- Die Strecke \(AB\) ist dabei der Durchmesser des Kreises; man nennt den Halbkreis deshalb Thaleskreis.
- Umkehrung: Jedes rechtwinklige Dreieck lässt sich in einen Halbkreis über seiner Hypotenuse einbeschreiben. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist also gleich weit von allen drei Ecken entfernt.
- Anwendung 1: ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, wenn Hypotenuse und eine weitere Angabe bekannt sind.
- Anwendung 2: die Tangente von einem Punkt an einen Kreis konstruieren – der Berührpunkt liegt auf dem Thaleskreis über der Strecke von Punkt zu Kreismittelpunkt.
- Mit einer dynamischen Geometriesoftware lässt sich der Satz gut entdecken: \(C\) auf dem Halbkreis bewegen und den Winkel messen.
Aufgaben
- Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(c = 8\,\mathrm{cm}\) und der Kathete \(a = 5\,\mathrm{cm}\).
Lösung
\(AB = 8\,\mathrm{cm}\) zeichnen, Thaleskreis darüber, Kreis um \(B\) mit 5 cm – der Schnittpunkt ist \(C\). - Ein Dreieck hat die Ecken auf einem Kreis, eine Seite ist der Durchmesser. Welchen Winkel hat es?
Lösung
Einen rechten – nach dem Satz des Thales. - Warum ist der Mittelpunkt der Hypotenuse von allen drei Ecken gleich weit entfernt?
Lösung
Er ist der Kreismittelpunkt; alle Ecken liegen auf dem Kreis.
Weiterführende Aufgaben
- Untersuche mit einer Geometriesoftware, was mit dem Winkel passiert, wenn \(C\) innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt.