Beweis durch Zerlegen und Ergänzen

Der Satz zum Anfassen

• Zerlegungsbeweis: Man zerschneidet die beiden Kathetenquadrate in wenige Teile und legt sie lückenlos in das Hypotenusenquadrat. Passt es genau, sind die Flächen gleich groß.
• Ergänzungsbeweis: Man zeichnet zwei gleich große Quadrate mit der Seitenlänge \(a+b\) und legt in beide dieselben vier rechtwinkligen Dreiecke – nur verschieden angeordnet. Im einen bleiben \(a^2\) und \(b^2\) frei, im anderen \(c^2\). Also sind sie zusammen gleich groß.
• Solche Beweise brauchen keine Algebra – sie zeigen den Satz, statt ihn auszurechnen.
• Ein Beweis gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke. Ein Beispiel zeigt nur, dass es in einem Fall stimmt – das ist der entscheidende Unterschied.
• Der Satz war schon Jahrhunderte vor Pythagoras in Babylonien und China bekannt; überliefert sind über 300 verschiedene Beweise.

1. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit 3 cm und 4 cm, setze auf jede Seite ein Quadrat und bestimme die drei Flächeninhalte.
   Lösung

   9, 16 und 25 cm² – die ersten beiden ergeben zusammen das dritte.
2. Warum reicht dieses eine Beispiel nicht als Beweis?
   Lösung

   Es zeigt nur einen Fall; ein Beweis muss für alle rechtwinkligen Dreiecke gelten.
3. Berechne im Ergänzungsbeweis den Flächeninhalt der vier Dreiecke zusammen.
   Lösung

   \(4\cdot\frac{ab}{2} = 2ab\).

1. Baue einen Zerlegungsbeweis aus Papier und erkläre ihn jemandem, der den Satz noch nicht kennt.