Abstand zweier Punkte berechnen
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Zwei verschiedene Punkte spannen eine Distanz auf, welche sowohl im Zweidimensionalen als auch im Dreidimensionalen berechnet werden kann.
Die Formeln zur Berechnung des Abstandes basieren auf dem Satz des Pythagoras.
Im Zweidimensionalen
Für \(2\) Punkte \(P_1\left(x_1\vert y_1\right)\), \(P_2\left(x_2\vert y_2\right)\) kann man den Abstand \(d\) (distance) folgendermaßen berechnen:
$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Im Dreidimensionalen
Analog zur Formel im zweidimensionalen Raum kann man den Abstand \(d\) (distance) zweier Punkte \(P_1\left(x_1\vert y_1\vert z_1\right),\;P_2\left(x_2\vert y_2\vert z_2\right)\) im dreidimensionalen Raum folgendermaßen berechnen:
$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$
Vorgehen am Beispiel
Gegeben sind die beiden Punkte \(P(6|3)\) und \(Q(1|2)\), deren Abstand ermittelt werden soll.
Dazu wird ein rechtwinkliges Dreieck gebildet mit …
der Strecke zwischen den Punkten als Hypotenuse,
der Differenz der x-Werte \(\left(6-1=5\right)\) als erste Kathete,
und der Differenz der y-Werte \(\left(3-2=1\right)\) als zweite Kathete.
Der Abstand der Punkte (die Hypotenuse \(d\)) kann nun mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
\(\Longrightarrow \) Der Abstand der Punkte P und Q beträgt ungefähr \(5,099\).
Spezialfall: Die Punkte liegen aufeinander
Gegeben sind zwei aufeinanderliegende Punkte \(P\) und \(P'\) mit identischen Koordinaten \(P\;(x\vert y)\;=P'(x|y)\)
Der Abstand zwischen \(P\) und \(P'\) berechnet sich mit der Formel
$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$.
Setzt man nun die Koordinaten ein, so erhält man wegen \(x_1=x_2=x\) und \(y_1=y_2=y\) für den Abstand \(d\):
$$d=\sqrt{(x-x)^2+(y-y)^2}=\sqrt{0+0}=\sqrt0=0$$.