Pythagoras in Körpern und im Alltag
Geometrie
Klasse 9, 10
- Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Quaders?
- Wo steckt der Satz im Alltag?
Schlau Fassung
Pythagoras im Raum
- Im Quader wird der Satz zweimal angewandt: erst für die Diagonale der Grundfläche \(d = \sqrt{a^2+b^2}\), dann für die Raumdiagonale mit \(d\) und der Höhe.
- Zusammengefasst: \(D = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
- In der Pyramide braucht man ihn für die Seitenkante und die Höhe des Seitendreiecks, im gleichschenkligen Dreieck für die Höhe.
- Im Koordinatensystem ergibt sich daraus die Länge einer Strecke: \(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
- Im Alltag: Passt ein Schrank durch die Tür? Wie lang muss ein Kabel diagonal durch den Raum sein? Wie steil ist eine Rampe? Wie prüft man, ob ein Fundament rechtwinklig ist?
- Die Bildschirmdiagonale und die Navigation per Luftlinie beruhen auf derselben Rechnung.
Aufgaben
- Ein Quader misst 4 m × 3 m × 12 m. Wie lang ist die Raumdiagonale?
Lösung
\(\sqrt{16+9+144} = 13\,\mathrm{m}\). - Berechne die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite 10 cm.
Lösung
\(h = \sqrt{100-25} \approx 8{,}66\,\mathrm{cm}\). - Wie weit sind \(A(1|2)\) und \(B(7|10)\) voneinander entfernt?
Lösung
\(\sqrt{36+64} = 10\).
Weiterführende Aufgaben
- Miss dein Zimmer aus und berechne, wie lang der längste Gegenstand sein darf, der noch hineinpasst.