Varianz

Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen \(X\) von ihrem Erwartungswert \(\mu\) in der Stochastik.

Sie beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der Werte der Zufallsvariablen zum Erwartungswert.

Die Varianz einer Zufallsgröße ist eng mit ihrer Standardabweichung verknüpft.

Berechnung für diskrete Zufallsvariablen

Für eine diskrete Zufallsgröße \(X\) mit Erwartungswert \(\mu\), Werten \(x_1,x_2,…,x_n\) und deren Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x_i)\) berechnet man die Varianz, die man normalerweise mit \(V(X)\) oder \(\sigma^2\) bezeichnet, wie folgt.

\(\begin{array}{c c l}V(X) & = & P(X=x_1)\cdot(x_1-\mu)^2+P(X=x_2)\cdot(x_2-\mu)^2+\dots+P(x_n)\cdot(x_n-\mu)^2\\&=& \sum\limits_{i=1}^{n}P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2\end{array}\)

Die Varianz berechnet sich also als Summe der Produkte von Wahrscheinlichkeit der Werte mit dem quadratischen Abstand zum Erwartungswert.

Berechnung für stetige Zufallsvariablen

Für eine stetige Zufallsvariable \(X\) mit Erwartungswert \(\mu\), Werten in \([a,b]\) und Dichtefunktion \(f\) berechnet man die Varianz, die man auch hier mit \(V(X)\) oder \(\sigma^2\) bezeichnet, wie folgt.

\(\displaystyle V(X)=\int\limits_a^b (x-\mu)^2\cdot f(x)\,\mathrm dx\)

Die Varianz berechnet sich also als Integral über das Produkt des mittleren quadratischen Abstands zum Erwartungswert und der Dichtefunktion der Verteilung.

Rechenregeln

• Verschiebungssatz: \(X\) ist hier eine Zufallsvariable, \(\mu\) ihr Erwartungswert. \(V(X)=E(X^2)-\mu^2\)

• Varianz von Summen von Zufallsvariablen. \(X\) und \(Y\) sind hier zwei verschiedene Zufallsvariablen. \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)

• Linearität: \(a\) und \(b\) sind hier Konstanten und \(X\) eine Zufallsvariable. \(V(a\cdot X+b)=a^2\cdot V(X)\), also auch \(V(a\cdot X)=a^2\cdot V(X)\) und \(V(b)=0\)

Wichtige Varianzen