Wahrscheinlichkeit
- Warum ist ein Lottogewinn so unwahrscheinlich, obwohl jede Woche jemand gewinnt?
- Was sagt das Gesetz der großen Zahlen – und was sagt es nicht?
- Wie rechnet man mit einem Baumdiagramm?
Themen in diesem Bereich
Zum Ausprobieren: Plinko Nagelbrett
Lassen Sie viele Kugeln fallen und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Erwartung.
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Simulation von PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, lizenziert unter CC BY 4.0 (https://phet.colorado.edu)
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit stellt ein Maß für die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar.
Jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes wird eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die man als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet.
Für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses \(A\) schreibt man meistens \(P(A)\) (das P kommt vom englischen Wort probability).
Je höher \(P(A)\) ist, desto wahrscheinlicher ist, dass bei diesem Zufallsexperiment das Ereignis \(A\) eintreten wird.
- Tritt \(A\) mit Sicherheit ein, so gilt \(P(A) = 1\).
- Tritt \(A\) mit Sicherheit nicht ein, so gilt \(P(A) = 0\).
Beispiele
1. Werfen eines fairen Würfels
Wirft man einen fairen Würfel, so könnte jede (natürliche) Zahl von 1 bis 6 mit gleicher Sicherheit fallen. Hier ergibt es Sinn, dass alle Elementarereignisse
\(\begin{array}{cc}A_1 &= &\text{ „Es fällt eine 1“ }\\A_2 &= &\text{ „Es fällt eine 2“ } \\&\vdots & \\A_6 &= &\text{ „Es fällt eine 6“ } \end{array}\)
die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, also \(P(A_1) = P(A_2) = \dots = P(A_6) = \frac{1}{6}\).
2. Werfen eines unfairen (= gezinkten) Würfels
Wenn man weiß, dass der Würfel immer auf eine bestimmte Seite fallen wird, zum Beispiel auf die 5, können die Ereignisse \(A_1, A_2,\dots, A_6\) nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Für die Ereignisse \(A_1, A_2, A_3, A_4\) und \(A_6\) muss jetzt gelten
$$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = P(A_6) = 0,$$da man weiß, dass diese nicht eintreten können.
Das Ereignis \(A_5\) hat jedoch die Wahrscheinlichkeit \(P(A_5)=1\), weil es sicher eintreten wird.
Bemerkung
Bei vielen Zufallsexperimenten ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen direkt zu bestimmen. In solchen Fällen wird für \(P(A)\) das Experiment sehr oft wiederholt und der Grenzwert der relativen Häufigkeiten \(h_n(A)\) des Ereignisses \(A\) bei \(n\rightarrow\infty\) als Wahrscheinlichkeit gewählt.
Warum diese Wahl von Wahrscheinlichkeiten Sinn ergibt, findet man im Artikel Gesetz der großen Zahlen.
Rechenregeln
Gegenwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\overline A\) zum Ereignis \(A\) ist gegeben durch
$$P(\overline A) = 1 - P(A).$$Additionsregel für unvereinbare Ereignisse
Haben die Ereignisse \(A\) und \(B\) keine gemeinsamen Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder \(A\) oder \(B\) eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für \(A\) und \(B\):
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$
Die Ereignisse \(A\cap B\), \(A\cap \overline{B}\) und \(\overline{A}\cap B\) schließen sich gegenseitig aus, gleichzeitig ist
$$(A\cap B)\cup (A\cap\overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)=A\cup B$$Daher ist
$$P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})+P(\overline{A}\cap B)=P(A\cup B).$$Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (Satz von Sylvester)
Für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt:
$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse
Sind die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl \(A\) als auch \(B\) eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von \(A\) und \(B\).
In Formeln: \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\), wenn \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.
Normierung der Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisraums \(\mathit\Omega\) ist immer 1.
$$P(\mathit\Omega) = 1.$$Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Wahrscheinlichkeit
- Ein Zufallsexperiment hat mehrere mögliche Ergebnisse, und man weiß vorher nicht, welches eintritt. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
- Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Dann gilt \(P = \frac{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}}\) – beim Würfel ist \(P(\text{gerade}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
- Nicht jeder Versuch ist Laplace: Bei einer Reißzwecke oder einem Quader hilft nur, oft zu werfen und die relative Häufigkeit zu bestimmen.
- Gesetz der großen Zahlen: Je öfter man wiederholt, desto näher liegt die relative Häufigkeit an der Wahrscheinlichkeit. Es sagt nichts über den nächsten Wurf – nach fünf Mal Kopf ist Zahl nicht „fällig“.
- Mehrstufige Versuche stellt man im Baumdiagramm dar. Pfadregel 1: entlang eines Pfades multiplizieren. Pfadregel 2: Wahrscheinlichkeiten mehrerer passender Pfade addieren.
- Bei einer Lotterie zeigt die Rechnung, warum ein Gewinn selten ist – und gleichzeitig, warum bei Millionen Mitspielenden fast immer jemand gewinnt. Beides widerspricht sich nicht.
Aufgaben
- Ein Würfel wird geworfen. Wie groß ist \(P(\text{Augenzahl} > 4)\)?
Lösung
Günstig sind 5 und 6: \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33\,\%\). - In einer Urne liegen 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot?
Lösung
\(0{,}3\cdot 0{,}3 = 0{,}09 = 9\,\%\). - Zwei Münzen werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist genau einmal Kopf?
Lösung
Zwei Pfade (KZ und ZK) zu je \(0{,}25\): \(0{,}5 = 50\,\%\). - Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder, 2 davon gewinnen. Lohnt sich ein Einsatz von 1 € bei 3 € Gewinn?
Lösung
\(P = 0{,}25\); im Mittel \(0{,}25\cdot 3 = 0{,}75\) € Gewinn je Spiel bei 1 € Einsatz – auf Dauer ein Verlustgeschäft.
Weiterführende Aufgaben
- Wirf eine Reißzwecke 100-mal und trage die relative Häufigkeit für „Spitze oben“ nach 10, 20, 50 und 100 Würfen auf. Was beobachtest du?
- Recherchiere die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Lotto „6 aus 49“ und vergleiche sie mit einem alltäglichen Risiko.