Verteilungsfunktion
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße \(X\) ordnet jeder reellen Zahl \(k\) die Wahrscheinlichkeit zu, mit der \(X\) höchstens den Wert \(k\) annimmt.
Man schreibt für die Verteilungsfunktion zur Zufallsgröße \(X\):
$$F_X(k):=P(X\le k)$$Eigenschaften
- \(P(X>k)=1-P(X \leq k)\)
- \(P(a
- \(F_X\) ist monoton wachsend
- \(F_X\) ist rechtsseitig stetig
Rechtsseitig stetig bedeutet, dass der rechtsseitige Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow k}{F_X(x)}=F_X(k)$$Beispiele
- Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augenzahl kleiner oder gleich 4 ist? Zeichne ein Säulendiagramm für \(P(X=k)\) und \(F_X(k)=P(X\leq k)\).
Lösung
Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen:
\(P(X \leq 4) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\frac23\)
Blau: \(P(X=k)\)
Orange: \(P(X\leq k)\)
- Ein Spieler einer Fußballmannschaft wird verletzt. Normalerweise dauert die Genesung zwischen \(5\) und \(10\) Tagen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibe die Anzahl der benötigten Tage für die Heilung. Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch:
Die Presse möchte wissen, ob der Spieler für das Spiel in \(8\) Tagen wieder spielfähig ist.
Lösung:
\(P(X \leq 8)= P(X <5) +P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0+0{,}1+0{,}25+0{,}31+0{,}23=0{,}89\)
- Ein Dartspieler trifft das Bullseye mit einer Wahrscheinlichkeit von \(40\;\%\). Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei \(5\) Würfen mehr als \(1\) Treffer? Gib außerdem die Verteilungsfunktion an.
Lösung
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Treffer mit der Binomialverteilung:
\(P(X>1)=1-P(X\le1)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0,07776-0,2592=0,66304\)
Die Verteilungsfunktion \(F_X\) ist gegeben durch:
$$F_X(k)=\begin{cases}0 &\text{ für }& k<0 \\ 0{,}07776 &\text{ für }&\mathrm 0 \leq k <1 \\ 0{,}33696 &\text{ für }&\mathrm 1\leq k <2 \\ 0{,}68256 &\text{ für } &\mathrm 2 \leq k <3 \\ 0{,}91296 &\text{ für }& \mathrm 3 \leq k <4 \\0{,}98976 &\text { für }& \mathrm 4 \leq k < 5 \\ 1 &\text{ für }& k \geq 5 \end{cases}$$