Den Erwartungswert berechnen

Der Erwartungswert ist ein Wert in der Stochastik und kommt im Zusammenhang mit Zufallsgrößen vor. Man kann sagen, der Erwartungswert festigt sich als Mittelwert der Ergebnisse bei mehrmaligem Wiederholen eines Experiments.

Der Erwartungswert sollte nicht mit dem arithmetischen Mittel verwechselt werden, hängt aber mit ihm zusammen.

Zum Beispiel erwartet man beim 6-maligen Werfen eines fairen Würfels einmal die Zahl "5" und durchschnittlich die Augenzahl 3,5. Wenn man den Würfel 6-mal wirft, kann die Zahl "5" jedoch 0- bis 6-mal auftreten und die durchschnittliche Augenzahl im Intervall von 1 bis 6 liegen.

Berechnung

Diskrete Zufallsvariablen

Formel

Für eine diskrete Zufallsgröße \(\text{X}\) mit Werten \(x_1,x_2\dots,x_n\) und deren Wahrscheinlichkeiten \(\text{P}(\text{X}=x_i)\) berechnet man den Erwartungswert, den man normalerweise mit \(\text E (\text X )\) oder \(\mu\) bezeichnet, wie folgt.

\(\displaystyle \begin{array}{c c l}\text E (\text X) & = & x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\text P (\text X = x_i)\end{array}\)

Der Erwartungswert berechnet sich also als Summe der Produkte von Wert und dessen Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

Werfen von zwei Laplace-Würfeln. Die Werte der Zufallsgröße \(\text X\) sind genau die Summe der Augenzahlen.

\(\displaystyle \begin{array} {c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\\hline \text P(\text X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36}\end{array}\)

Damit ergibt sich für den Erwartungswert für dieses Experiment.

\(\displaystyle \begin{array}{c c l} \text E(\text X)& = & 2\cdot\frac{1}{36}+3\cdot\frac{2}{36}+4\cdot\frac{3}{36}+5\cdot\frac{4}{36}+6\cdot\frac{5}{36}+7\cdot\frac{6}{36}\\ & & +\,8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{4}{36}+10\cdot\frac{3}{36}+11\cdot\frac{2}{36}+12\cdot\frac{1}{36}\\ & = & 7\end{array}\)

Dies bedeutet also, dass man beim Werfen von zwei fairen Würfeln im Mittel eine "7" würfelt.

Stetige Zufallsvariablen

Formel

Für eine stetige Zufallsvariable \(\text X\) mit Werten in \([\text a,\text b]\) und Dichtefunktion \(f\) berechnet man den Erwartungswert, den man auch hier mit \(\text E(\text X)\) oder \(\mu\) bezeichnet, wie folgt.

\(\displaystyle\text E(\text X)=\int\limits_{a}^{b}x\cdot f(x)\text dx\)

Der Erwartungswert berechnet sich also als Integral über das Produkt der Ergebnisse und der Dichtefunktion der Verteilung.

Beispiel

Die Verspätung einer U-Bahn sei mit folgender Dichtefunktion (\(x\) ist die Minute, in der die U-Bahn eintrifft) gegeben

\(f(x)=\begin{cases}0,8-0,32x & \text{ für } & 0\leq x\leq2,5\\0 & \text { für } & \text{sonst} \end{cases}\)

Daraus ergibt sich für den Erwartungswert dieses Experimentes

\(\displaystyle\text E(\text X)=\int\limits_0^{2,5}x\cdot f(x)\text{d}x=\int\limits_0^{2,5}x\cdot(0,8-0,32x)\,\text dx=0,8\overline{3}\)

Das bedeutet, die U-Bahn hat im Schnitt \(0,8\overline3\) Minuten, das sind \(50\) Sekunden, Verspätung.

Rechenregeln

• Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen. X und Y sind hier zwei verschiedene Zufallsvariablen.

\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)

• Linearität: \(c\) und \(d\) sind hier Konstanten und \(\text X\) eine Zufallsvariable.

\(E(c\cdot X+d)=c\cdot E(X)+d\), also auch

\(E(c\cdot X)=c\cdot E(X)\) und

\(E(d)=d\)

• Erwartungswert von Produkten von unabhängigen Zufallsvariablen. \(\text X\) und \(\text Y\) sind hier unabhängige Zufallsvariablen.

\(E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)\)

Wichtige Erwartungswerte

Beispielaufgabe