Logarithmen

Logarithmen

• Der Logarithmus ist die dritte Umkehrung der Potenz. Bei \(a^b = c\) gibt es drei Fragen: Sucht man \(c\), potenziert man. Sucht man die Basis \(a\), zieht man die Wurzel. Sucht man den Exponenten \(b\), braucht man den Logarithmus.
• Definition: \(\log_a(c) = b\) bedeutet genau \(a^b = c\). Gelesen: „Womit muss ich \(a\) potenzieren, um \(c\) zu erhalten?“ Beispiel: \(\log_2(8) = 3\), weil \(2^3 = 8\).
• Deshalb hilft Wurzelziehen bei \(2^x = 10\) nicht: Dort ist die Basis bekannt und der Exponent gesucht – die Wurzel macht es umgekehrt.
• Drei gebräuchliche Basen: \(\lg\) (Basis 10), \(\ln\) (Basis \(e \approx 2{,}718\), der natürliche Logarithmus) und \(\log_2\) (Basis 2, in der Informatik).
• Nur positive Zahlen haben einen Logarithmus. Eine positive Basis liefert nie ein negatives Ergebnis, deshalb ist \(\log(0)\) und \(\log(-5)\) nicht definiert.
• Warum das nützlich ist: Der Logarithmus macht aus Multiplikation Addition und staucht riesige Wertebereiche. Erdbebenstärke, Lautstärke in Dezibel und der pH-Wert sind logarithmische Skalen.

1. Berechne \(\log_3(81)\).
   Lösung

   \(3^4 = 81\), also 4.
2. Schreibe \(5^3 = 125\) als Logarithmus.
   Lösung

   \(\log_5(125) = 3\).
3. Warum gibt es \(\log_2(-4)\) nicht?
   Lösung

   Keine Potenz von 2 ergibt eine negative Zahl; die Funktion ist nur für positive Argumente definiert.

1. Untersucht die Richterskala: Um wie viel stärker ist ein Beben der Stärke 7 gegenüber einem der Stärke 5? Begründet mit der Basis 10.