Exponentialgleichungen lösen

Exponentialgleichungen lösen

• Der Standardweg: beide Seiten logarithmieren, dann mit der Potenzregel den Exponenten herunterholen, dann nach \(x\) auflösen.
• Beispiel: \(2^x = 10\). Logarithmieren ergibt \(x\cdot\ln 2 = \ln 10\), also \(x = \dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}32\).
• Abkürzung bei gleicher Basis: Lassen sich beide Seiten als Potenz derselben Basis schreiben, genügt der Vergleich der Exponenten. \(3^{x} = 81 = 3^4\) liefert sofort \(x = 4\).
• Erst freistellen, dann logarithmieren: Bei \(5\cdot 2^x = 40\) zuerst durch 5 teilen (\(2^x = 8\)), sonst zerlegt man ein Produkt falsch.
• Typische Anwendung: Verdopplungs- und Halbwertszeiten. „Wann hat sich der Bestand verdoppelt?“ führt auf \(1{,}05^t = 2\), also \(t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}2\) Jahre.

1. Löse \(3^x = 81\).
   Lösung

   \(81 = 3^4\), also \(x = 4\).
2. Löse \(4\cdot 2^x = 64\).
   Lösung

   \(2^x = 16\), also \(x = 4\).
3. Ein Guthaben wächst mit 5 % pro Jahr. Nach wie vielen Jahren hat es sich verdoppelt?
   Lösung

   \(1{,}05^t = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}2\) Jahre.

1. Berechnet die Halbwertszeit eines Bestands, der jährlich um 12 % abnimmt, und prüft das Ergebnis mit einer Wertetabelle.